Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Поверхностный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16462
Страница 1 из 1

Автор:  alexandra555 [ 25 апр 2012, 20:12 ]
Заголовок сообщения:  Поверхностный интеграл

Вычислить поверхностный интеграл. Сделать чертеж поверхности.
[math]\int\int_\sigma \frac1{x^3}dydz + (y^2 - x^2 + z^2)dxdz[/math]

[math]\sigma[/math]- верхняя сторона части конуса [math]x^2=y^2+z^2[/math], ограниченная плоскостями [math]x=2, z=1 (z \ge 1)[/math]. При вычислении интеграла по [math]dydz[/math] перейти к полярным координатам.

Заранее очень благодарна!

Автор:  alexandra555 [ 01 май 2012, 16:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл

Вот чертеж:
Изображение

Подскажите, пожалуйста, как решать?

Автор:  Human [ 01 май 2012, 16:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл

Найдите проекцию [math]D_{yz}[/math] Вашей поверхности на плоскость [math]Oyz[/math]. Так Вы найдёте параметризацию Вашей поверхности в виде [math]x=f(y,z),\ (y,z)\in D_{yz}[/math] и сведёте поверхностный интеграл к кратному по области [math]D_{yz}[/math]. Для взятия интеграла, как и советуют в задании, перейдите к полярным координатам, в них параметризация [math]D_{yz}[/math] будет проще.

Автор:  alexandra555 [ 01 май 2012, 17:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл

Так верно? Не пойму что дальше?

[math]-\int\int_\sigma (y^2 + z^2)^{-\frac 3{2}}dydz[/math]

[math]y=\rho sin\varphi[/math] ; [math]z=z[/math]

Изображение

Автор:  Human [ 01 май 2012, 17:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл

Откуда минус в интеграле появился? У Вас конус в области [math]x>0[/math].

[math]y=r\cos\varphi,\ z=r\sin\varphi[/math]. В этих координатах дуга окружности имеет уравнение [math]r=2[/math], а прямая [math]z=1\Rightarrow r\sin\varphi=1\Rightarrow r=\frac1{\sin\varphi}[/math]. Значит вся область задаётся так: [math]\frac1{\sin\varphi}<r<2[/math]. Пределы, в которых меняется [math]\varphi[/math], можно найти из рисунка: [math]\frac{\pi}6<\varphi<\frac{5\pi}6[/math].

Автор:  alexandra555 [ 01 май 2012, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл

Human, Благодарю Вас!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/