Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл!!!
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16453
Страница 1 из 1

Автор:  igorek [ 25 апр 2012, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл!!!

Исследовать на равномерную сходимость интеграл на множестве [math]E[/math]

[math]\int\limits_{0}^{1}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx,\quad E=[0;1][/math]

Автор:  Avgust [ 30 апр 2012, 14:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл!!!

Объемный график подинтегральной функции, ряд Тейлора и неопределенный интеграл говорят о том, что имеется равномерная сходимость при любом [math]a[/math]

Изображение

Автор:  Human [ 01 май 2012, 00:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл!!!

Мне непонятно, как для такого интеграла вообще вводится понятие равномерной сходимости: у него особая точка зависит от [math]\alpha[/math], а известное мне определение равномерной сходимости предписывает этой точке быть одной и той же для всех [math]\alpha\in E[/math], чаще всего это один из пределов интегрирования. Так что этот момент хотелось бы у ТС уточнить, либо отправить меня к соответствующему определению, если оно существует.

Автор:  igorek [ 01 май 2012, 19:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл!!!

Human писал(а):
Мне непонятно, как для такого интеграла вообще вводится понятие равномерной сходимости: у него особая точка зависит от [math]\alpha[/math], а известное мне определение равномерной сходимости предписывает этой точке быть одной и той же для всех [math]\alpha\in E[/math], чаще всего это один из пределов интегрирования. Так что этот момент хотелось бы у ТС уточнить, либо отправить меня к соответствующему определению, если оно существует.

Открой учебник по математическому анализу(например, Зорича или Кудрявцева) и прочти главу "Несобственные интегралы зависящие от параметра".

Автор:  Human [ 01 май 2012, 19:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл!!!

Тогда не могли бы Вы указать точно страницу в учебнике Кудрявцева (у меня издание 2003 года), где формулируется определение. Как я сказал ранее, я нашёл лишь стандартное определение для интегралов, у которых отрезок интегрирования не зависит от параметра. В данном случае он зависит, поскольку

[math]\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx=\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx+\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx[/math]

и точки [math]\alpha[/math] являются для интеграла особыми.

Всё, что я нашёл по поводу интеграла Вашего типа, - это абзац почти в самом конце 2-ого тома, в котором просто констатируется факт существования таких интегралов и что они называются потенциалами. Определение равномерной сходимости для них я не нашёл. Попробую поискать в Зориче.

Автор:  Human [ 01 май 2012, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл!!!

Как я и думал, в Зориче ситуация аналогичная. Хотя не, даже хуже: там такие интегралы вообще не упоминаются. В задачах к главе тоже подобных интегралов не нашёл.

Зато Ваш интеграл и ещё один подобный, с логарифмом, нашёл в 3-ем томе сборника задач Кудрявцева: глава 3, [math]\S[/math]14, номера 8.2) и 8.3) соответственно. Интересно, как авторы предполагали их решать, если определения для них не то, что не сформулированы, но даже непонятно, как их ввести аналогично тому, как это было сделано для интегралов с фиксированной особенностью на верхнем пределе?

Кто-нибудь из форумчан знает? А то ведь придётся идти к гениям на [math]dxdy[/math]. :)

Автор:  igorek [ 01 май 2012, 20:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл!!!

Human писал(а):
Как я и думал, в Зориче ситуация аналогичная. Хотя не, даже хуже: там такие интегралы вообще не упоминаются. В задачах к главе тоже подобных интегралов не нашёл.

Зато Ваш интеграл и ещё один подобный, с логарифмом, нашёл в 3-ем томе сборника задач Кудрявцева: глава 3, [math]\S[/math]14, номера 8.2) и 8.3) соответственно. Интересно, как авторы предполагали их решать, если определения для них не то, что не сформулированы, но даже непонятно, как их ввести аналогично тому, как это было сделано для интегралов с фиксированной особенностью на верхнем пределе?

Кто-нибудь из форумчан знает? А то ведь придётся идти к гениям на [math]dxdy[/math]. :)

Вот как раз я в этом задачнике и взял этот номерок, ужасный номер, я над ним уже неделю парюсь. Преподаватель давал наводку замена переменной, но ничего хорошего я не придумал и не получил

Автор:  Human [ 01 май 2012, 20:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл!!!

igorek писал(а):
Преподаватель давал наводку замена переменной,

В принципе можно так сделать:

[math]\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{|x-\alpha|}}\,dx=\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{\alpha-x}}\,dx+\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{x-\alpha}}\,dx[/math]

В первом интеграле можно сделать замену [math]x=\alpha t[/math]. Получится:

[math]\int\limits_0^{\alpha}\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{\alpha-x}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{\sin\alpha^2 t}{\sqrt{1-t}}\sqrt{\alpha}\,dt.[/math]

Во втором замена [math]x=(1-\alpha)t+\alpha[/math]:

[math]\int\limits_{\alpha}^1\frac{\sin\alpha x}{\sqrt{x-\alpha}}\,dx=\int\limits_0^1\frac{\sin(\alpha(1-\alpha)t+\alpha^2)}{\sqrt t}\sqrt{1-\alpha}\,dt.[/math]

Тогда интегралы станут нормальными: у первого особенность в единице, а у второго в нуле. Даже можно признаком Вейерштрасса воспользоваться.

Автор:  Human [ 01 май 2012, 21:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл!!!

Но мне этот подход не нравится, поскольку при замене переменной равномерная сходимость может не сохраняться. Хотя...пожалуй, какая разница, всё равно для исходного интеграла непонятно определение равномерной сходимости. Может оно именно так для него и формулируется (то есть, заменой переменных перейти к "обычным" интегралам и судить о равномерной сходимости исходного интеграла по ним).

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/