Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобственные интегралы с параметрами..
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16350
Страница 1 из 1

Автор:  number_one [ 23 апр 2012, 00:19 ]
Заголовок сообщения:  Несобственные интегралы с параметрами..

1) [math]\int_0^{+\infty} x^{p-1}e^{-x}\;dx[/math]

2) [math]\int_0^{+\infty}\frac{x^m\operatorname{arctg}{x}}{2+x^n}\;dx\;\;\;\;\;(n\geqslant 0)[/math]

3) [math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx[/math]

Тут нужно проводить итерации до посинения или есть способ попроще?) Предполагаю, что можно по частям брать все, но может что-то посоветуете, особенно по второй...?

3) [math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx=\frac{x^{1-n}}{1-n}\cdot \ln(1+x)\Bigg|_0^{+\infty}-\frac{1}{1-n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx[/math]

[math]\frac{x^{1-n}}{1-n}\cdot \ln(1+x)\Bigg|_0^{+\infty}=0[/math]

А вот этот интеграл -- не очевидно как брать...

[math]\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^{n-1}(x+1)}\;dx[/math]

Возникает лишь желание разложить на простейшие, но там получается что-то жуткое...

[math]\frac{1}{x^{n-1}(x+1)}\;dx=\frac{\alpha_1}{x}+\frac{\alpha_2}{x^2}+...+\frac{\alpha_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{A}{x+1}[/math]

Вот я туплю, нужно было исследовать на сходимость, а не вычислять!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :Yahoo!:

Автор:  number_one [ 23 апр 2012, 01:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственные интегралы с параметрами..

2) Сходится по признаку Абеля при [math]n>m+1[/math] и из-за того, что интеграл [math]\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p}[/math] сходится при [math]p>1[/math]

3) Сходится при [math]n>1[/math], так как

[math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx=-\frac{1}{1-n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx[/math]

А он сходится при [math]n>1[/math] ввиду того, что интеграл [math]\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p}[/math] сходится при [math]p>1[/math]

Правильно?

А как в первом - с чем сравнивать? Как быть?

Автор:  erjoma [ 23 апр 2012, 10:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственные интегралы с параметрами..

number_one писал(а):
2) Сходится по признаку Абеля при [math]n>m+1[/math] и из-за того, что интеграл [math]\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p}[/math] сходится при [math]p>1[/math]

3) Сходится при [math]n>1[/math], так как

[math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx=-\frac{1}{1-n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx[/math]

А он сходится при [math]n>1[/math] ввиду того, что интеграл [math]\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p}[/math] сходится при [math]p>1[/math]

Правильно?

А как в первом - с чем сравнивать? Как быть?


Неверно.
Сходится интеграл [math]\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p},(a>0)[/math]
В первом при [math]p \ge 1[/math] интеграл сходится по признаку Дирихле, при [math]p < 1[/math] исходный интеграл нужно представить в виде суммы интегралов с интервалами интегрирования [math][0,a][/math] и [math][a,+\infty)[/math], а затем исследовать каждый из полученных интегралов на сходимость.

Автор:  number_one [ 23 апр 2012, 13:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственные интегралы с параметрами..

Спасибо. То есть во всех трех примерах нужно разбить на два интеграла [math]\int_0^{+\infty} f(x)\;dx=\int_0^a f(x)\;dx+\int_a^{+\infty} f(x)\;dx[/math].

1.1. [math]\int_0^a x^{p-1}e^{-x}\;dx[/math] А как исследовать его сходимость при [math]p\leqslant 1[/math]?

1.2. [math]\int_a^{+\infty} x^{p-1}e^{-x}\;dx[/math] сходится по признаку Дирихле при [math]p>1[/math], так как [math]\lim_{x\to+\infty} e^{-x}=0[/math]

и найдется такое число [math]M[/math], что [math]\Bigg|\int_a^{+\infty} x^{p-1}dx\Bigg|<M[/math], так как [math]\int_a^{+\infty}x^{p-1}dx=\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{1-p}}dx[/math], сходится при [math]p<0[/math] по (b) (а значит ограничен)

Что-то странное...


1.3 ... что-то странное.

Я так понимаю, что во всех трех задачах нужно использовать вот это?


(a)[math]\int_0^a f(x)\;dx[/math] сравнить с [math]\int_0^a \frac{1}{x^\alpha}\;dx[/math], который сходится при [math]\alpha<0[/math]

(b) [math]\int_a^{+\infty} f(x)\;dx[/math] сравнить с [math]\int_0^a \frac{1}{x^p}\;dx[/math], который сходится при [math]p>1[/math]

Автор:  number_one [ 23 апр 2012, 19:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственные интегралы с параметрами..

Ну вот :(

Автор:  number_one [ 23 апр 2012, 19:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственные интегралы с параметрами..

2) Там ведь получается при [math]0\leqslant x\leqslant a[/math] интеграл, который не является несобственным для [math]a>0[/math].

1) Та же история...

3) тоже самое, если учесть вот это [math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx=-\frac{1}{1-n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx[/math]

Автор:  erjoma [ 23 апр 2012, 20:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственные интегралы с параметрами..

На два интеграла нужно разбивать когда на нижней границе интегрирования подынтегральная функция обращается в бесконечность.
[math]\begin{gathered} \int\limits_0^a {{x^{p - 1}}{e^{ - x}}dx} ,p < 1 \hfill \\ \int\limits_0^a {\frac{{{x^m}\operatorname{arctg} x}}{{2 + {x^n}}}dx} ,m < 0 \hfill \\ \int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}} = \int\limits_0^a {\frac{{{x^{1 - n}}}}{{x + 1}}dx} ,n > 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math] несобственные интегралы второго рода

Автор:  number_one [ 23 апр 2012, 21:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственные интегралы с параметрами..

Спасибо, а можно ли сказать, что[math]\int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}}\sim \int\limits_0^a {\frac{x}{{{x^n}}}}[/math] ввиду того, что [math]\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)/x^n}{x/x^n}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1[/math]

А значит достаточно исследовать [math]\int\limits_0^a {\frac{dx}{{{x^{n-1}}}}}[/math], а он сходится при [math]n<2[/math], значит [math]\int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}}[/math] сходится при [math]1<n<2[/math]

Автор:  erjoma [ 24 апр 2012, 09:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственные интегралы с параметрами..

[math]\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx} = \int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx} + \int\limits_a^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx}[/math]
Т.к. [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}:\frac{1}{{{x^\lambda }}} = 0,\lambda < n[/math] и [math]\int\limits_a^\infty {\frac{{dx}}{{{x^\lambda }}}}[/math] сходится при [math]\lambda>1[/math], то [math]\int\limits_a^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx}[/math] сходится при [math]n>1[/math].
number_one писал(а):
[math]\int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}}\sim \int\limits_0^a {\frac{x}{{{x^n}}}}[/math] ввиду того, что [math]\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)/x^n}{x/x^n}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1[/math]

А значит достаточно исследовать [math]\int\limits_0^a {\frac{dx}{{{x^{n-1}}}}}[/math], а он сходится при [math]n<2[/math], значит [math]\int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}}[/math] сходится при [math]n<2[/math]


[math]\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx}[/math] сходится при [math]1<n<2[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/