Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 00:19 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) [math]\int_0^{+\infty} x^{p-1}e^{-x}\;dx[/math]

2) [math]\int_0^{+\infty}\frac{x^m\operatorname{arctg}{x}}{2+x^n}\;dx\;\;\;\;\;(n\geqslant 0)[/math]

3) [math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx[/math]

Тут нужно проводить итерации до посинения или есть способ попроще?) Предполагаю, что можно по частям брать все, но может что-то посоветуете, особенно по второй...?

3) [math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx=\frac{x^{1-n}}{1-n}\cdot \ln(1+x)\Bigg|_0^{+\infty}-\frac{1}{1-n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx[/math]

[math]\frac{x^{1-n}}{1-n}\cdot \ln(1+x)\Bigg|_0^{+\infty}=0[/math]

А вот этот интеграл -- не очевидно как брать...

[math]\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx=\int_0^{+\infty}\frac{1}{x^{n-1}(x+1)}\;dx[/math]

Возникает лишь желание разложить на простейшие, но там получается что-то жуткое...

[math]\frac{1}{x^{n-1}(x+1)}\;dx=\frac{\alpha_1}{x}+\frac{\alpha_2}{x^2}+...+\frac{\alpha_{n-1}}{x^{n-1}}+\frac{A}{x+1}[/math]

Вот я туплю, нужно было исследовать на сходимость, а не вычислять!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! :Yahoo!:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 01:29 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2) Сходится по признаку Абеля при [math]n>m+1[/math] и из-за того, что интеграл [math]\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p}[/math] сходится при [math]p>1[/math]

3) Сходится при [math]n>1[/math], так как

[math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx=-\frac{1}{1-n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx[/math]

А он сходится при [math]n>1[/math] ввиду того, что интеграл [math]\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p}[/math] сходится при [math]p>1[/math]

Правильно?

А как в первом - с чем сравнивать? Как быть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 10:56 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
number_one писал(а):
2) Сходится по признаку Абеля при [math]n>m+1[/math] и из-за того, что интеграл [math]\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p}[/math] сходится при [math]p>1[/math]

3) Сходится при [math]n>1[/math], так как

[math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx=-\frac{1}{1-n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx[/math]

А он сходится при [math]n>1[/math] ввиду того, что интеграл [math]\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^p}[/math] сходится при [math]p>1[/math]

Правильно?

А как в первом - с чем сравнивать? Как быть?


Неверно.
Сходится интеграл [math]\int_a^{+\infty}\frac{dx}{x^p},(a>0)[/math]
В первом при [math]p \ge 1[/math] интеграл сходится по признаку Дирихле, при [math]p < 1[/math] исходный интеграл нужно представить в виде суммы интегралов с интервалами интегрирования [math][0,a][/math] и [math][a,+\infty)[/math], а затем исследовать каждый из полученных интегралов на сходимость.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
number_one
 Заголовок сообщения: Re: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 13:18 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. То есть во всех трех примерах нужно разбить на два интеграла [math]\int_0^{+\infty} f(x)\;dx=\int_0^a f(x)\;dx+\int_a^{+\infty} f(x)\;dx[/math].

1.1. [math]\int_0^a x^{p-1}e^{-x}\;dx[/math] А как исследовать его сходимость при [math]p\leqslant 1[/math]?

1.2. [math]\int_a^{+\infty} x^{p-1}e^{-x}\;dx[/math] сходится по признаку Дирихле при [math]p>1[/math], так как [math]\lim_{x\to+\infty} e^{-x}=0[/math]

и найдется такое число [math]M[/math], что [math]\Bigg|\int_a^{+\infty} x^{p-1}dx\Bigg|<M[/math], так как [math]\int_a^{+\infty}x^{p-1}dx=\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^{1-p}}dx[/math], сходится при [math]p<0[/math] по (b) (а значит ограничен)

Что-то странное...


1.3 ... что-то странное.

Я так понимаю, что во всех трех задачах нужно использовать вот это?


(a)[math]\int_0^a f(x)\;dx[/math] сравнить с [math]\int_0^a \frac{1}{x^\alpha}\;dx[/math], который сходится при [math]\alpha<0[/math]

(b) [math]\int_a^{+\infty} f(x)\;dx[/math] сравнить с [math]\int_0^a \frac{1}{x^p}\;dx[/math], который сходится при [math]p>1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 19:48 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну вот :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 19:52 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
2) Там ведь получается при [math]0\leqslant x\leqslant a[/math] интеграл, который не является несобственным для [math]a>0[/math].

1) Та же история...

3) тоже самое, если учесть вот это [math]\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{ln}{(1+x)}}{x^n}\;dx=-\frac{1}{1-n}\int_0^{+\infty}\frac{x^{1-n}}{x+1}\;dx[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 20:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На два интеграла нужно разбивать когда на нижней границе интегрирования подынтегральная функция обращается в бесконечность.
[math]\begin{gathered} \int\limits_0^a {{x^{p - 1}}{e^{ - x}}dx} ,p < 1 \hfill \\ \int\limits_0^a {\frac{{{x^m}\operatorname{arctg} x}}{{2 + {x^n}}}dx} ,m < 0 \hfill \\ \int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}} = \int\limits_0^a {\frac{{{x^{1 - n}}}}{{x + 1}}dx} ,n > 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math] несобственные интегралы второго рода

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
number_one
 Заголовок сообщения: Re: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 23 апр 2012, 21:35 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
11 янв 2012, 20:54
Сообщений: 71
Cпасибо сказано: 41
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо, а можно ли сказать, что[math]\int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}}\sim \int\limits_0^a {\frac{x}{{{x^n}}}}[/math] ввиду того, что [math]\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)/x^n}{x/x^n}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1[/math]

А значит достаточно исследовать [math]\int\limits_0^a {\frac{dx}{{{x^{n-1}}}}}[/math], а он сходится при [math]n<2[/math], значит [math]\int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}}[/math] сходится при [math]1<n<2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственные интегралы с параметрами..
СообщениеДобавлено: 24 апр 2012, 09:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx} = \int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx} + \int\limits_a^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx}[/math]
Т.к. [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}:\frac{1}{{{x^\lambda }}} = 0,\lambda < n[/math] и [math]\int\limits_a^\infty {\frac{{dx}}{{{x^\lambda }}}}[/math] сходится при [math]\lambda>1[/math], то [math]\int\limits_a^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx}[/math] сходится при [math]n>1[/math].
number_one писал(а):
[math]\int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}}\sim \int\limits_0^a {\frac{x}{{{x^n}}}}[/math] ввиду того, что [math]\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)/x^n}{x/x^n}=\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1[/math]

А значит достаточно исследовать [math]\int\limits_0^a {\frac{dx}{{{x^{n-1}}}}}[/math], а он сходится при [math]n<2[/math], значит [math]\int\limits_0^a {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}}[/math] сходится при [math]n<2[/math]


[math]\int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^n}}}dx}[/math] сходится при [math]1<n<2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
number_one
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

vynny

4

179

26 мар 2021, 19:14

Несобственные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

351w

24

735

01 мар 2019, 10:43

Несобственные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

MashaKirpichnikova

1

348

01 апр 2015, 18:19

Несобственные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Finn_parnichka

3

427

22 фев 2018, 17:51

Несобственные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Dumhtf

5

408

16 апр 2020, 17:49

Несобственные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

alenka77

1

335

06 ноя 2016, 17:59

Несобственные интегралы

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

mendes

1

350

03 дек 2016, 21:28

Несобственные интегралы с параметром

в форуме Интегральное исчисление

white95

5

337

18 мар 2018, 19:34

Вычислить несобственные интегралы

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

hqhihi

1

437

19 май 2016, 00:38

Вычислить несобственные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Tatiana_1

1

136

06 апр 2022, 17:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved