Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Indefinite Integral
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16345
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 22 апр 2012, 21:56 ]
Заголовок сообщения:  Indefinite Integral

[math]\displaystyle \int \frac{x^3-2}{\sqrt{(x^3+1)^2}}dx[/math]

Автор:  erjoma [ 22 апр 2012, 22:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Indefinite Integral

[math]\begin{gathered} \int {\frac{{{x^3} - 2}}{{\sqrt {{{\left( {{x^3} + 1} \right)}^2}} }}dx} = \int {\frac{{{x^3} - 2}}{{\left| {{x^3} + 1} \right|}}dx} = \int {\operatorname{sign} \left( {x + 1} \right)} \frac{{{x^3} - 2}}{{{x^3} + 1}}dx = \operatorname{sign} \left( {x + 1} \right)\int {\left( {1 - \frac{3}{{{x^3} + 1}}} \right)dx} = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

P.S.
[math]\operatorname{sign} \left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} 1,x > 0 \hfill \\ 0,x = 0 \hfill \\ - 1,x < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Автор:  jagdish [ 23 апр 2012, 04:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Indefinite Integral

thanks arjoma,actually original question is

[math]\displaystyle \int \frac{x^3-2}{\sqrt{(x^3+1)^3}}dx[/math]

Автор:  Prokop [ 23 апр 2012, 08:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Indefinite Integral

The answer is found by accident.
The solution is based on the identity
[math]\int {\frac{{x^3 - 2}}{{\sqrt {\left( {x^3 + 1} \right)^3 } }}dx} = \frac{{P\left( x \right)}}{{\sqrt {x^3 + 1} }} + C[/math]
[math]P\left( x \right)[/math] - polynomial of degree 1
The answer
[math]\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {x^3 + 1} }} + C[/math]

Автор:  jagdish [ 23 апр 2012, 09:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Indefinite Integral

Thanks Prokop very Nice solution.

any other Method.

Автор:  Prokop [ 23 апр 2012, 10:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Indefinite Integral

Another method is based on the theory of binomial differentials
[math]J_{p,q} = \int {\left( {a + bt} \right)^p t^q dt}[/math]
There is equality
[math]J_{p,q} = \frac{{\left( {a + bt} \right)^{p + 1} t^{q + 1} }}{{a\left( {q + 1} \right)}} - b\frac{{p + q + 2}}{{a\left( {q + 1} \right)}}J_{p,q + 1}[/math]
Your integral is equal to
[math]I=\int {\frac{{x^3 - 2}}{{\sqrt {\left( {x^3 + 1} \right)^3 } }}dx}= \left\{ {x^3 = t} \right\} = \frac{1}{3}\left( {J_{ - \frac{3}{2},\frac{1}{3}} - 2J_{ - \frac{3}{2}, - \frac{2}{3}} } \right)[/math]
here
[math]J_{p,q} = \int {\left( {1 + t} \right)^p t^q dt}[/math]
Further
[math]J_{ - \frac{3}{2}, - \frac{2}{3}}= \frac{{\left({1 + t} \right)^{ - \frac{1}{2}} t^{\frac{1}{3}} }}{{\frac{1}{3}}} - \frac{{ - \frac{3}{2} - \frac{2}{3} + 2}}{{\frac{1}{3}}}J_{ - \frac{3}{2},\frac{1}{3}}[/math]
Therefore
[math]I = \frac{{ - 2x}}{{\sqrt {x^3 + 1} }} + C[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/