Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определенный интеграл (тригонометрический)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16322
Страница 1 из 1

Автор:  serg_miren [ 22 апр 2012, 12:56 ]
Заголовок сообщения:  Определенный интеграл (тригонометрический)

Не могу совладать с таким интегралом:

int[0, 2П] sin^2(x/4)*cos^8(x/4)dx

Автор:  Avgust [ 22 апр 2012, 20:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интеграл (тригонометрический)

Самое простое, - избавиться от степеней. Это такая цепочка:

[math]\sin^2(t) \cdot \cos^8(t) \to \cos^8(t)-\cos^{10}(t)[/math]

Причем:
[math]\cos^8(t)=\frac{1}{128}[56 \cos(2t)+28 \cos(4t)+8 \cos(6t)+\cos(8t)+35][/math]

[math]\cos^{10}(t)=\frac{1}{512}[210 \cos(2t)+120 \cos(4t)+45 \cos(6t)+10 \cos(8t)+\cos(10t)+126][/math]

Интегралы взять от этих косинусов - очень просто. Вместо t ставите x/4
Писанины много, но зато без особых напряжений.

Есть, конечно, и менее трудоемкие методы интегрирования. Наверное, здесь кто-то предложит.

Автор:  serg_miren [ 23 апр 2012, 11:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интеграл (тригонометрический)

После всех плясок получается такое выражение:

1/128(56+0-8+0+35П) - 1/512(210+0-45+0+1+126П) = 48/128+35П/128-166/512-126П/512 = 26/512-14П/512

Надеюсь, ты со мной согласишься :)

Автор:  serg_miren [ 24 апр 2012, 08:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интеграл (тригонометрический)

?

Автор:  Avgust [ 24 апр 2012, 09:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интеграл (тригонометрический)

Я получил [math]\frac{7 \pi}{128}[/math]

Кто-то из нас переплясал. Возможно мы оба. Проверьте исходный интеграл на Вольфраме.

Но я прав, поскольку [math]\int \limits _{0}^{2\pi} \bigg (\frac{35}{128}-\frac{126}{512} \bigg ) dx=\frac{35 \cdot 2 \pi}{128}-\frac{126 \cdot 2 \pi}{512}=\frac{7\pi}{128}[/math]

а все косинусы обнуляются при четных b и указанных пределах, ибо:

[math]\int a \cos(bx)dx= \frac {a}{b}\sin(bx) +C[/math]

Автор:  erjoma [ 24 апр 2012, 10:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интеграл (тригонометрический)

[math]\begin{aligned} \int\limits_0^{2\pi } {{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{4}} \right){{\cos }^8}\left( {\frac{x}{4}} \right)dx} & = \left( \begin{gathered} t = \frac{x}{4} \hfill \\ 4dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}t{{\cos }^8}tdt} = 2{\rm B}\left( {\frac{3}{2};\frac{9}{2}} \right) = \\[2pt] & = 2\frac{{\Gamma \left( {\frac{3}{2}} \right)\Gamma \left( {\frac{9}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( 6 \right)}} = 2\frac{{\frac{1}{2}\sqrt \pi \frac{7}{2}\frac{5}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt \pi }}{{5!}} = \frac{7}{{128}}\pi \end{aligned}[/math]

Автор:  Avgust [ 24 апр 2012, 13:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интеграл (тригонометрический)

Крутой метод!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/