Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Тройной интеграл через цилиндрическую систему координат
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16312
Страница 1 из 1

Автор:  arreke [ 22 апр 2012, 02:01 ]
Заголовок сообщения:  Тройной интеграл через цилиндрическую систему координат

Вычислить тройной интеграл, используя цилиндрическую систему координат или сферическую систему координат:

[math]\iiint\limits_V {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)dV},V:\frac{1}{2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \leqslant z \leqslant 2[/math]

Автор:  Alexdemath [ 22 апр 2012, 09:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Тройной интеграл

Сначала найдите проекцию [math]D_{xy}[/math] области интегрирования [math]V[/math] на плоскость [math]Oxy[/math]

[math]\begin{gathered}D_{xy}\colon\,~ \frac{1}{2}({x^2} + {y^2}) \leqslant 2~~\Leftrightarrow~~ {x^2} + {y^2} \leqslant {2^2} \hfill \\ x = r\cos\varphi,~~y=r\sin\varphi,~~z=z \hfill \\ V^{\ast} = \left\{(r,\varphi,z)\in\mathbb{R}^3\colon~0 \leqslant r \leqslant 2,~0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi,~\frac{1}{2}{r^2} \leqslant z \leqslant 2} \right\} \hfill\\ \iiint\limits_{V}(x^2+y^2)\,dV= \iiint\limits_{V^{\ast}}r^2\cdot r\,dr\,d\varphi\,dz= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 {{r^3}dr} \int\limits_{r^2/2}^{2}dz= 2\pi \int\limits_0^2 r^3\!\left(2-\frac{r^2}{2}\right)\!dr=\ldots \hfill\end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/