Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16311
Страница 1 из 1

Автор:  arreke [ 22 апр 2012, 01:56 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат

Вычислить тройной интеграл, используя декартову систему координат:

[math]\iiint\limits_V z\,dV,\quad V\colon\left\{ \begin{gathered} z \geqslant \sqrt {{x^2} + {y^y}} \hfill \\ 1 \leqslant z \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Начал решать вот так:

[math]\begin{gathered} {D_{xy}},1 \leqslant \sqrt {{x^2} + {y^2}} \leqslant 2 \hfill \\ \iint\limits_{{D_{xy}}} {dxdy\int_1^2 {zdz} } = \frac{3}{2}\iint\limits_{{D_{xy}}} {dxdy} = \frac{3}{2}\iint\limits_{{D_{xy}}} {dxdy} = \frac{3}{2}\int_0^{\pi /2} {d\theta \int_1^{\sqrt 2 } {} } \hfill \\ \end{gathered}[/math]



2. Решить тройной интеграл использую цилиндрическую или сферическую систему координат:

[math]\iiint\limits_V {\sqrt {1 - {x^2} - {y^2} - {z^2}} dV},V:\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 1 \hfill \\ z \geqslant \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math]

Автор:  Prokop [ 22 апр 2012, 10:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат

Первый интеграл вычислен неправильно. Область [math]V[/math] представляет собой усечённый конус с осью [math]OZ[/math]
[math]\iiint\limits_V {zdV} = \int\limits_1^2 {z\,dz} \iint\limits_{D_{xy} } {dxdy}[/math]
где [math]D_{xy}[/math] - круг, радиус которого зависит от [math]z[/math].

Во второй задаче лучше перейти к сферическим координатам.

Автор:  arreke [ 22 апр 2012, 14:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат

Кажется опять что-то не так делаю...

[math]\begin{gathered} \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1,\rho = 1 \hfill \\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2,\rho = 2 \hfill \\ \iiint\limits_V {zdV} = \int\limits_{{D_{xy}}} {dxdy} \int_1^2 {zdz} = \frac{3}{2}\int\limits_{{D_{xy}}} {dxdy} = \frac{3}{2}\int_0^{2\pi } {d\theta } \int_1^2 {\rho d\rho } \hfill \\ = \frac{9}{4}\int_0^{2\pi } {d\theta } = \frac{9}{2}\pi \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  vvvv [ 22 апр 2012, 18:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат

Prokop писал(а):
Первый интеграл вычислен неправильно. Область [math]V[/math] представляет собой усечённый конус с осью [math]OZ[/math]
[math]\iiint\limits_V {zdV} = \int\limits_1^2 {z\,dz} \iint\limits_{D_{xy} } {dxdy}[/math]
где [math]D_{xy}[/math] - круг, радиус которого зависит от [math]z[/math].

Во второй задаче лучше перейти к сферическим координатам.

В задании не конус , там [math]$y^{y}$[/math]

Автор:  arreke [ 23 апр 2012, 01:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат

vvvv писал(а):
В задании не конус , там [math]$y^{y}$[/math]


Извиняюсь, это моя опечатка, в задании y^2

Автор:  arreke [ 23 апр 2012, 07:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат

Для второй задачи я правильно начал решать?

[math]\begin{gathered} \iiint\limits_V {\sqrt {1 - {x^2} - {y^2} - {z^2}} dV},V:\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 1 \hfill \\ z \geqslant \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ V:0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi {\text{ }},{\text{ }}0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{4}{\text{ }},{\text{ }}0 \leqslant r \leqslant 1{\text{ }};{\text{ }}{{\text{r}}^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \hfill \\ \iiint\limits_V {\sqrt {1 - {x^2} - {y^2} - {z^2}} dV} = \int_0^{2\pi } {d\theta } \int_0^{\pi /4} {d\varphi } \int_0^1 {\sqrt {1 - {r^2}} } \cdot {r^2}\sin \varphi dr = \hfill \\ 2\pi \int_0^{\pi /4} {\sin \varphi d\varphi } \int_0^1 {\sqrt {1 - {r^2}} } \cdot {r^2}dr \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/