| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16311 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | arreke [ 22 апр 2012, 01:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат |
Вычислить тройной интеграл, используя декартову систему координат: [math]\iiint\limits_V z\,dV,\quad V\colon\left\{ \begin{gathered} z \geqslant \sqrt {{x^2} + {y^y}} \hfill \\ 1 \leqslant z \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] Начал решать вот так: [math]\begin{gathered} {D_{xy}},1 \leqslant \sqrt {{x^2} + {y^2}} \leqslant 2 \hfill \\ \iint\limits_{{D_{xy}}} {dxdy\int_1^2 {zdz} } = \frac{3}{2}\iint\limits_{{D_{xy}}} {dxdy} = \frac{3}{2}\iint\limits_{{D_{xy}}} {dxdy} = \frac{3}{2}\int_0^{\pi /2} {d\theta \int_1^{\sqrt 2 } {} } \hfill \\ \end{gathered}[/math] 2. Решить тройной интеграл использую цилиндрическую или сферическую систему координат: [math]\iiint\limits_V {\sqrt {1 - {x^2} - {y^2} - {z^2}} dV},V:\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 1 \hfill \\ z \geqslant \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right.[/math] |
|
| Автор: | Prokop [ 22 апр 2012, 10:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат |
Первый интеграл вычислен неправильно. Область [math]V[/math] представляет собой усечённый конус с осью [math]OZ[/math] [math]\iiint\limits_V {zdV} = \int\limits_1^2 {z\,dz} \iint\limits_{D_{xy} } {dxdy}[/math] где [math]D_{xy}[/math] - круг, радиус которого зависит от [math]z[/math]. Во второй задаче лучше перейти к сферическим координатам. |
|
| Автор: | arreke [ 22 апр 2012, 14:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат |
Кажется опять что-то не так делаю... [math]\begin{gathered} \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1,\rho = 1 \hfill \\ \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 2,\rho = 2 \hfill \\ \iiint\limits_V {zdV} = \int\limits_{{D_{xy}}} {dxdy} \int_1^2 {zdz} = \frac{3}{2}\int\limits_{{D_{xy}}} {dxdy} = \frac{3}{2}\int_0^{2\pi } {d\theta } \int_1^2 {\rho d\rho } \hfill \\ = \frac{9}{4}\int_0^{2\pi } {d\theta } = \frac{9}{2}\pi \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | vvvv [ 22 апр 2012, 18:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат |
Prokop писал(а): Первый интеграл вычислен неправильно. Область [math]V[/math] представляет собой усечённый конус с осью [math]OZ[/math] [math]\iiint\limits_V {zdV} = \int\limits_1^2 {z\,dz} \iint\limits_{D_{xy} } {dxdy}[/math] где [math]D_{xy}[/math] - круг, радиус которого зависит от [math]z[/math]. Во второй задаче лучше перейти к сферическим координатам. В задании не конус , там [math]$y^{y}$[/math] |
|
| Автор: | arreke [ 23 апр 2012, 01:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат |
vvvv писал(а): В задании не конус , там [math]$y^{y}$[/math] Извиняюсь, это моя опечатка, в задании y^2 |
|
| Автор: | arreke [ 23 апр 2012, 07:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить тройной интеграл через декартову систему координат |
Для второй задачи я правильно начал решать? [math]\begin{gathered} \iiint\limits_V {\sqrt {1 - {x^2} - {y^2} - {z^2}} dV},V:\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 1 \hfill \\ z \geqslant \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ V:0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi {\text{ }},{\text{ }}0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{4}{\text{ }},{\text{ }}0 \leqslant r \leqslant 1{\text{ }};{\text{ }}{{\text{r}}^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \hfill \\ \iiint\limits_V {\sqrt {1 - {x^2} - {y^2} - {z^2}} dV} = \int_0^{2\pi } {d\theta } \int_0^{\pi /4} {d\varphi } \int_0^1 {\sqrt {1 - {r^2}} } \cdot {r^2}\sin \varphi dr = \hfill \\ 2\pi \int_0^{\pi /4} {\sin \varphi d\varphi } \int_0^1 {\sqrt {1 - {r^2}} } \cdot {r^2}dr \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|