| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Определенный интеграл и предел. http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16303 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | tumkan [ 21 апр 2012, 19:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Определенный интеграл и предел. |
![]() [math]\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n\frac{i^p}{n^{p+1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{p+1}}\sum_{i=1}^n i^p=\alpha[/math] Предполагаю, что тут где-то будет интеграл [math]\int_1^\infty x^pdx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Bigg|_1^\infty[/math] А как дальше? |
|
| Автор: | Human [ 21 апр 2012, 19:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Определенный интеграл и предел. |
[math]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\ldots+n^p}{n^{p+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac i n\right)^p[/math] Сумма [math]\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac i n\right)^p[/math] при каждом [math]n[/math] - это интегральная сумма для функции [math]x^p[/math] на отрезке [math][0; 1][/math] (проверьте), и значит при [math]n\to\infty[/math] эта сумма стремится к определённому интегралу от этой функции на этом отрезке (интеграл существует, поскольку функция [math]x^p[/math] непрерывна на отрезке [math][0; 1][/math]). |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|