Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Определенный интеграл и предел.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16303
Страница 1 из 1

Автор:  tumkan [ 21 апр 2012, 19:29 ]
Заголовок сообщения:  Определенный интеграл и предел.

Изображение

[math]\lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^n\frac{i^p}{n^{p+1}}=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^{p+1}}\sum_{i=1}^n i^p=\alpha[/math]

Предполагаю, что тут где-то будет интеграл [math]\int_1^\infty x^pdx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Bigg|_1^\infty[/math]

А как дальше?

Автор:  Human [ 21 апр 2012, 19:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Определенный интеграл и предел.

[math]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\ldots+n^p}{n^{p+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac i n\right)^p[/math]


Сумма [math]\frac1n\sum_{i=1}^n\left(\frac i n\right)^p[/math] при каждом [math]n[/math] - это интегральная сумма для функции [math]x^p[/math] на отрезке [math][0; 1][/math] (проверьте), и значит при [math]n\to\infty[/math] эта сумма стремится к определённому интегралу от этой функции на этом отрезке (интеграл существует, поскольку функция [math]x^p[/math] непрерывна на отрезке [math][0; 1][/math]).

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/