| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Интересные интегралы. http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16289 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | tumkan [ 21 апр 2012, 15:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Интересные интегралы. |
![]() Как их взять? [math](e^{x^2})'=2xe^{x^2}[/math] [math]\int 2xe^{x^2}dx=e^{x^2}[/math] [math]e^{x^2}+C=\int \frac{(e^{x^2})'}{2x}dx[/math] На этом фантазия исчерпалась
|
|
| Автор: | Human [ 21 апр 2012, 16:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
Все задачи на применение правила Лопиталя. И кстати, интегралы записаны некорректно: в подынтегральных функциях формально должна стоять другая переменная, например [math]t[/math]. |
|
| Автор: | tumkan [ 21 апр 2012, 17:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
Human писал(а): Все задачи на применение правила Лопиталя. И кстати, интегралы записаны некорректно: в подынтегральных функциях формально должна стоять другая переменная, например [math]t[/math]. Ну это Демидович виноват А как во втором использовать правило Лопиталя? Доказать ,что предел отношения равен единице? |
|
| Автор: | tumkan [ 21 апр 2012, 17:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
[math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2xe^{x^2}\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)}{2xe^{2x^2}}[/math] А как дальше? |
|
| Автор: | Human [ 21 апр 2012, 17:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
tumkan писал(а): А как во втором использовать правило Лопиталя? Доказать ,что предел отношения равен единице? Да. tumkan писал(а): [math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2xe^{x^2}\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)}{2xe^{2x^2}}[/math] А как дальше? Откуда у Вас появился [math]x[/math] в числителе и [math]2x[/math] в знаменателе? |
|
| Автор: | tumkan [ 21 апр 2012, 18:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
в) [math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)}{e^{2x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)}{e^{x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{2xe^{x^2}}=0[/math] Правильно? 2234. [math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\int_0^xe^{t^2}dt}{\frac{e^{x^2}}{2x}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{\frac{4x^2e^{x^2}-2xe^{x^2}}{4x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{\frac{(2x-1)e^{x^2}}{2x}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x}{2x-1}=1[/math] Верно? А как в 2235 дифференцировать числитель и знаменатель? Там ведь не просто переменный предел интегрирования - там вообще синус и тангенс! |
|
| Автор: | Human [ 21 апр 2012, 18:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
в) Забыли двойку в числителе, когда в первый раз брали производную, но на ответ это не влияет. 2234. Неверно взяли производную частного, что, однако, опять не испортило ответ. Перепроверьте. |
|
| Автор: | Human [ 21 апр 2012, 18:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
tumkan писал(а): А как в 2235 дифференцировать числитель и знаменатель? Там ведь не просто переменный предел интегрирования - там вообще синус и тангенс! Как производную сложной функции: [math]\int\limits_0^{\sin x}\sqrt{\operatorname{tg}t}\,dt=F(\sin x)-F(0)=G(x)-G(0)[/math] [math]\left(\int\limits_0^{\sin x}\sqrt{\operatorname{tg}t}\,dt\right)'=G'(x)=F'(\sin x)\cos x=\sqrt{\operatorname{tg}\sin x}\cos x[/math]
|
|
| Автор: | tumkan [ 21 апр 2012, 18:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
2234. [math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\int_0^xe^{t^2}dt}{\frac{e^{x^2}}{2x}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{\frac{4x^2e^{x^2}-2e^{x^2}}{4x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{\frac{(2x^2-1)e^{x^2}}{2x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x^2}{2x^2-1}=1[/math] Да в в) нужна еще двойка, спасибо! |
|
| Автор: | tumkan [ 21 апр 2012, 18:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Интересные интегралы. |
Human писал(а): tumkan писал(а): А как в 2235 дифференцировать числитель и знаменатель? Там ведь не просто переменный предел интегрирования - там вообще синус и тангенс! Как производную сложной функции: [math]\int\limits_0^{\sin x}\sqrt{\operatorname{tg}t}\,dt=F(\sin x)-F(0)=G(x)-G(0)[/math] [math]\left(\int\limits_0^{\sin x}\sqrt{\operatorname{tg}t}\,dt\right)'=G'(x)=F'(\sin x)\cos x=\sqrt{\operatorname{tg}\sin x}\cos x[/math] Спасибо [math]\int\limits_0^{\operatorname{tg} x}\sqrt{\operatorname{sin}t}\,dt=F(\operatorname{tg} x)-F(0)=G(x)-G(0)[/math] [math]\left(\int\limits_0^{\operatorname{tg} x}\sqrt{\operatorname{sin}t}\,dt\right)'=G'(x)=F'(\operatorname{tg} x)\cdot \frac{1}{\cos^2x}=\sqrt{\operatorname{sin}\operatorname{tg} x}\cdot \frac{1}{\cos^2x}[/math] Верно? |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|