Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интересные интегралы.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16289
Страница 1 из 2

Автор:  tumkan [ 21 апр 2012, 15:23 ]
Заголовок сообщения:  Интересные интегралы.

Изображение

Как их взять?

[math](e^{x^2})'=2xe^{x^2}[/math]

[math]\int 2xe^{x^2}dx=e^{x^2}[/math]

[math]e^{x^2}+C=\int \frac{(e^{x^2})'}{2x}dx[/math]

На этом фантазия исчерпалась :Search:

Автор:  Human [ 21 апр 2012, 16:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

Все задачи на применение правила Лопиталя.
И кстати, интегралы записаны некорректно: в подынтегральных функциях формально должна стоять другая переменная, например [math]t[/math].

Автор:  tumkan [ 21 апр 2012, 17:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

Human писал(а):
Все задачи на применение правила Лопиталя.
И кстати, интегралы записаны некорректно: в подынтегральных функциях формально должна стоять другая переменная, например [math]t[/math].


Ну это Демидович виноват :D1

А как во втором использовать правило Лопиталя? Доказать ,что предел отношения равен единице?

Автор:  tumkan [ 21 апр 2012, 17:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

[math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2xe^{x^2}\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)}{2xe^{2x^2}}[/math]

А как дальше?

Автор:  Human [ 21 апр 2012, 17:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

tumkan писал(а):
А как во втором использовать правило Лопиталя? Доказать ,что предел отношения равен единице?


Да.

tumkan писал(а):
[math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2xe^{x^2}\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)}{2xe^{2x^2}}[/math]

А как дальше?


Откуда у Вас появился [math]x[/math] в числителе и [math]2x[/math] в знаменателе?

Автор:  tumkan [ 21 апр 2012, 18:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

в) [math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)}{e^{2x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\Big(\int_0^xe^{t^2}dt\Big)}{e^{x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{2xe^{x^2}}=0[/math]

Правильно?

2234.

[math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\int_0^xe^{t^2}dt}{\frac{e^{x^2}}{2x}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{\frac{4x^2e^{x^2}-2xe^{x^2}}{4x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{\frac{(2x-1)e^{x^2}}{2x}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x}{2x-1}=1[/math]

Верно?

А как в 2235 дифференцировать числитель и знаменатель? Там ведь не просто переменный предел интегрирования - там вообще синус и тангенс!

Автор:  Human [ 21 апр 2012, 18:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

в) Забыли двойку в числителе, когда в первый раз брали производную, но на ответ это не влияет.

2234. Неверно взяли производную частного, что, однако, опять не испортило ответ. Перепроверьте.

Автор:  Human [ 21 апр 2012, 18:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

tumkan писал(а):
А как в 2235 дифференцировать числитель и знаменатель? Там ведь не просто переменный предел интегрирования - там вообще синус и тангенс!


Как производную сложной функции:

[math]\int\limits_0^{\sin x}\sqrt{\operatorname{tg}t}\,dt=F(\sin x)-F(0)=G(x)-G(0)[/math]

[math]\left(\int\limits_0^{\sin x}\sqrt{\operatorname{tg}t}\,dt\right)'=G'(x)=F'(\sin x)\cos x=\sqrt{\operatorname{tg}\sin x}\cos x[/math]

Автор:  tumkan [ 21 апр 2012, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

2234.

[math]\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\int_0^xe^{t^2}dt}{\frac{e^{x^2}}{2x}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{\frac{4x^2e^{x^2}-2e^{x^2}}{4x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{e^{x^2}}{\frac{(2x^2-1)e^{x^2}}{2x^2}}=\displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2x^2}{2x^2-1}=1[/math]

Да в в) нужна еще двойка, спасибо!

Автор:  tumkan [ 21 апр 2012, 18:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересные интегралы.

Human писал(а):
tumkan писал(а):
А как в 2235 дифференцировать числитель и знаменатель? Там ведь не просто переменный предел интегрирования - там вообще синус и тангенс!


Как производную сложной функции:

[math]\int\limits_0^{\sin x}\sqrt{\operatorname{tg}t}\,dt=F(\sin x)-F(0)=G(x)-G(0)[/math]

[math]\left(\int\limits_0^{\sin x}\sqrt{\operatorname{tg}t}\,dt\right)'=G'(x)=F'(\sin x)\cos x=\sqrt{\operatorname{tg}\sin x}\cos x[/math]


Спасибо :)

[math]\int\limits_0^{\operatorname{tg} x}\sqrt{\operatorname{sin}t}\,dt=F(\operatorname{tg} x)-F(0)=G(x)-G(0)[/math]

[math]\left(\int\limits_0^{\operatorname{tg} x}\sqrt{\operatorname{sin}t}\,dt\right)'=G'(x)=F'(\operatorname{tg} x)\cdot \frac{1}{\cos^2x}=\sqrt{\operatorname{sin}\operatorname{tg} x}\cdot \frac{1}{\cos^2x}[/math]

Верно?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/