Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Merhaba |
|
|
Помогите Пожалуйста найти площадь части сферы [math]x^2+y^2+z^2=2a^2[/math], заключенной внутри конуса [math]x^2+y^2=z^2[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexdemath |
|
|
|
Считайте для верхней полусферы, а результат умножьте на 2.
[math]\begin{gathered}D_{xy}= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon x^2+y^2\leqslant a^2\right\} \hfill \\z = \sqrt {2{a^2} - {x^2} - {y^2}} \hfill \\z'_x= \frac{x}{{\sqrt {2{a^2} - {x^2} - {y^2}} }},\quad z'_y = \frac{{ - y}}{{\sqrt {2{a^2} - {x^2} - {y^2}} }} \hfill \\{z'_x}^2 = \frac{{{x^2}}}{{2{a^2} - {x^2} - {y^2}}},\quad {z'_y}^2 = \frac{{{y^2}}}{{2{a^2} - {x^2} - {y^2}}} \hfill \\ds = \sqrt {1 + {z'_x}^2 + {z'_y}^2}\,dxdy = \sqrt {1 + \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{2{a^2} - {x^2} - {y^2}}}}\,dxdy = \frac{{\sqrt 2 a\,dxdy}}{{\sqrt {2{a^2} - {x^2} - {y^2}} }} \hfill \end{gathered}[/math] Теперь нужно вспомнить стандартную формулу: [math]\begin{aligned}\frac{S}{2}&= \iint\limits_{D_{xy}}ds= \sqrt 2 a\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant a^2} \frac{dxdy}{\sqrt {2a^2-x^2-y^2}} = \left\{ \begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y = r\sin \varphi \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \sqrt 2 a\int\limits_0^{2\pi }d\varphi \int\limits_0^a {\frac{r\,dr}{{\sqrt {2{a^2} - {r^2}} }}} = \\ &= -\pi \sqrt 2 a\int\limits_0^a (2a^2-r^2)^{-1/2}d(2a^2-r^2)= \left. { - \pi \sqrt 2 a\frac{{{{(2{a^2} - {r^2})}^{1 - 1/2}}}}{{1 - 1/2}}} \right|_{r=0}^{r=a}=\\ &= -2\pi \sqrt 2 a\left( {\sqrt {2{a^2} - {a^2}} - \sqrt {2{a^2}} } \right) = - 2\pi \sqrt 2 a\bigl(a - \sqrt 2 a\bigr) = 2\pi \bigl(2 - \sqrt2\bigr){a^2} \\ &\boxed{S = 4\pi\bigl(2 - \sqrt 2\bigr){a^2}} \end{aligned}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: Merhaba |
||
| Merhaba |
|
|
|
Alexdemath
Помогите Пожалуйста построить чертёж ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |