| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Двойном интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16157 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | arreke [ 15 апр 2012, 11:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Двойном интеграл |
![]() [math]\begin{gathered} \iint\limits_D {\sqrt {{x^2} + {y^2}} d\sigma },{\text{ }}D:\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant y \leqslant x \hfill \\ {x^2} + {y^2} \leqslant 2x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ {x^2} + {y^2} = 2x,{\text{ }}\rho = 2\sin \theta ,{\text{ }}0 \leqslant \theta \leqslant \pi /2 \hfill \\ \iint\limits_D {\sqrt {{x^2} + {y^2}} d\sigma } = \int_0^{\pi /2} {d\theta } \int_0^{2\sin \theta } \rho \cdot \rho d\rho \hfill \\ \end{gathered}[/math] Правильно ли я решаю эту задачу? |
|
| Автор: | --ms-- [ 15 апр 2012, 12:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
Скорее [math]\rho=2\cos \theta[/math]. И, наверное, [math]\theta[/math] не до [math]\pi/2[/math], а меньше? До [math]\pi/2[/math] - это полная четверть, а у Вас до диагонали только. |
|
| Автор: | Yurik [ 15 апр 2012, 13:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
[math]{x^2} + {y^2} = 2x,{\text{ }}\rho = \sqrt {2\sin \theta } ,{\text{ }}0 \leqslant \,\theta \, \leqslant \pi /4[/math] |
|
| Автор: | arreke [ 15 апр 2012, 17:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
[math]\begin{gathered} \int_0^{\pi /4} {d\theta } \int_0^{\sqrt {2\sin \theta } } {\rho \cdot \rho d\rho } = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int_0^{\pi /4} {{{\sqrt {\sin \theta } }^3}d\theta } = \hfill \\ = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int_0^{\pi /4} {\frac{{2\sqrt {\sin \theta } }}{{\cos \theta }}{{\sqrt {\sin \theta } }^3}d\sqrt {\sin \theta } } = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\int_0^{\pi /4} {\frac{{2{{\sin }^2}\theta }}{{\cos \theta }}d\sqrt {\sin \theta } } \hfill \\ \end{gathered}[/math] так правильно? или снова не так решаю? |
|
| Автор: | --ms-- [ 15 апр 2012, 18:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
Упорство, достойное лучшего применения. Вы задачу решить хотите, или проигнорировать умный совет? Ну хоть подставьте крайние значения [math]\theta[/math] в Ваше [math]\rho[/math] или в то, что Вам "любезно" подсказал Yurik. Надо же Вам как-то увидеть, что область, по которой Вы интегрируете, ничего общего с нужной областью не имеет. Зачем спрашивать, если даже не мочь выбрать между верным и неверным советом? |
|
| Автор: | arreke [ 16 апр 2012, 02:54 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
--ms-- писал(а): Упорство, достойное лучшего применения. Вы задачу решить хотите, или проигнорировать умный совет? Ну хоть подставьте крайние значения [math]\theta[/math] в Ваше [math]\rho[/math] или в то, что Вам "любезно" подсказал Yurik. Надо же Вам как-то увидеть, что область, по которой Вы интегрируете, ничего общего с нужной областью не имеет. Зачем спрашивать, если даже не мочь выбрать между верным и неверным советом? Если честно, я непонимаю откуда берутся [math]\theta[/math] и [math]\rho[/math], [math]\theta[/math] это вроде угол... Можете обьяснить на простом языке? А то по книжке не очень понятно.... |
|
| Автор: | Human [ 16 апр 2012, 03:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
Это полярные координаты. [math]\rho[/math] - это расстояние от начала координат до точки плоскости. [math]\theta[/math] - это угол между лучом [math]Ox[/math] и лучом, выходящим из начала координат и проходящим через точку плоскости, причём этот угол отсчитывается от луча [math]Ox[/math] против часовой стрелки. Связь с декартовыми координатами: [math]x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta[/math]. |
|
| Автор: | Human [ 16 апр 2012, 03:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
Хотя, наверное, Википедия доступнее объяснит. |
|
| Автор: | --ms-- [ 16 апр 2012, 06:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
Ещё вот так можно: вот область, по которой Вы последний раз интегрировали. Её ещё слева ограничить нужно прямой, идущей под углом [math]\theta=\pi/4[/math]. Порисуйте картинок, Вам понравится. В частности, косинус попробуйте. |
|
| Автор: | Yurik [ 16 апр 2012, 07:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Двойном интеграл |
--ms-- Не злорадствовать нужно, а подсказать, что я ошибся. [math]{x^2} + {y^2} = 2x,{\text{ }}\rho = \sqrt {2\cos \theta } ,{\text{ }}0 \leqslant \,\theta \, \leqslant \pi /4[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|