Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

определенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16145
Страница 1 из 1

Автор:  Anastasia- [ 14 апр 2012, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  определенный интеграл

помогите вычислить

Вложения:
21.gif
21.gif [ 807 байт | Просмотров: 374 ]

Автор:  f3b4c9083ba91 [ 14 апр 2012, 18:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенный интеграл

Универсальная тригонометрическая подстановка:
[math]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{1 + \cos x + \sin x}}} = \left[ \begin{array}{l}t = \tan \frac{x}{2}\\x = 2\arctan t\\\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\\dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right] = \int\limits_0^1 {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}} = } 2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + t}} = } \ln \left( {1 + t} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \ln 2[/math]

Автор:  Avgust [ 14 апр 2012, 22:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенный интеграл

Еще способ:

[math]\int \limits_{0}^{\pi/2} \frac {d \big (x+\pi/4 \big )}{1+\sqrt{2} \sin \big (x+\pi/4 \big )}= ln \frac{tg(x/2+\pi /8) +\sqrt{2}-1}{tg(x/2+\pi /8) +\sqrt{2}+1} \bigg | _{0}^{\pi /2}=ln(2)[/math]

Автор:  Avgust [ 14 апр 2012, 22:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенный интеграл

убрал дубль...

Автор:  f3b4c9083ba91 [ 14 апр 2012, 22:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенный интеграл

f3b4c9083ba91 писал(а):
Универсальная тригонометрическая подстановка:
[math]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{1 + \cos x + \sin x}}} = \left[ \begin{array}{l}t = \tan \frac{x}{2}\\x = 2\arctan t\\\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\\dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right] = \int\limits_0^1 {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}} = } \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + t}} = } \ln \left( {1 + t} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \ln 2[/math]

Двойка была лишней.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/