| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| определенный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16145 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Anastasia- [ 14 апр 2012, 18:04 ] | ||
| Заголовок сообщения: | определенный интеграл | ||
помогите вычислить
|
|||
| Автор: | f3b4c9083ba91 [ 14 апр 2012, 18:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: определенный интеграл |
Универсальная тригонометрическая подстановка: [math]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{1 + \cos x + \sin x}}} = \left[ \begin{array}{l}t = \tan \frac{x}{2}\\x = 2\arctan t\\\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\\dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right] = \int\limits_0^1 {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}} = } 2\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + t}} = } \ln \left( {1 + t} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \ln 2[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 14 апр 2012, 22:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: определенный интеграл |
Еще способ: [math]\int \limits_{0}^{\pi/2} \frac {d \big (x+\pi/4 \big )}{1+\sqrt{2} \sin \big (x+\pi/4 \big )}= ln \frac{tg(x/2+\pi /8) +\sqrt{2}-1}{tg(x/2+\pi /8) +\sqrt{2}+1} \bigg | _{0}^{\pi /2}=ln(2)[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 14 апр 2012, 22:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: определенный интеграл |
убрал дубль... |
|
| Автор: | f3b4c9083ba91 [ 14 апр 2012, 22:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: определенный интеграл |
f3b4c9083ba91 писал(а): Универсальная тригонометрическая подстановка: [math]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dx}}{{1 + \cos x + \sin x}}} = \left[ \begin{array}{l}t = \tan \frac{x}{2}\\x = 2\arctan t\\\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\\\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\\dx = \frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}\\x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right] = \int\limits_0^1 {\frac{{\frac{{2dt}}{{1 + {t^2}}}}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}}} = } \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + t}} = } \ln \left( {1 + t} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \ln 2[/math] Двойка была лишней. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|