Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16075
Страница 3 из 4

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Итак, необходимо найти такое Е(эпсилон), что для любого B>1 найдутся B<b1<b2 такие, что модуль интеграла от b1 до b2 - больше или равен Е. Тоесть у нас есть определенный интеграл, и чтобы найти это Е нужно его как-то решить, и там как-то получится, что p должно быть >= 0 ? Вот только как его решить.. :unknown:

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 21:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Что ж, формулировку отрицания критерия Коши Вы понимаете, это уже хорошо. :)

Пока не будем выяснять, чему конкретно должно быть равно [math]\varepsilon[/math], оно у нас само автоматически вычислится. Обратим внимание лучше на то, как выбрать точки [math]b_1[/math] и [math]b_2[/math]. Лучше всего выбирать их так, чтобы интеграл был как можно больше (это в наших же интересах). Поскольку подынтегральная функция всё время меняет знак, то интегрировать по отрезку, содержащему нули функции, не рационально: интеграл будет уменьшаться при интегрировании по области, где функция отрицательна. Это наводит на мысль, что в качестве пределов интегрирования лучше всего брать соседние нули подынтегральной функции, то есть нули функции [math]\sin x[/math]. Дополнительно потребуем, чтобы между нулями функция была положительна. Этот выбор удачен тем, что, во-первых, такие точки всегда можно выбрать, каким бы большим ни было [math]B[/math], а во-вторых, подынтегральная функция будет положительна, поэтому можно снять модуль и пользоваться всякими полезными свойствами. Например, интегрирование неравенств.

Теперь рассмотрим непериодическую часть функции. Если бы удалось снизу оценить её каким-нибудь положительным числом, то, пользуясь интегрированием неравенств, мы бы могли свести интегрирование подынтегральной функции к интегрированию обычного синуса.

Теперь попытайтесь реализовать всё, что я Вам сказал.

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 21:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

dollemika писал(а):
и там как-то получится, что p должно быть >= 0 ?


Вот как раз то, что [math]p\geqslant0[/math], поможет Вам оценить непериодическую часть функции.

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 21:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Т.е. нужно рассмотреть интеграл например от 1 до пи, или от 2пи до 3пи(нули функции sinx)? Что насчет оценить снизу - ничего не приходит в голову, кроме бинома Ньютона, ну или того, что (1+1/x)^p >= x^p*(1+p/x^2), что в свою очередь равно p+1, если подставить нижнюю границу интегрирования.

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 21:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

dollemika писал(а):
Т.е. нужно рассмотреть интеграл например от 1 до пи, или от 2пи до 3пи(нули функции sinx)?

Единица не есть нуль синуса. :)
А интеграл нужно рассматривать между теми нулями, которые больше [math]B[/math]. Причём для каждого [math]B[/math] нужно подобрать нули. То есть пока [math]1<B<2\pi[/math] можно выбрать [math]2\pi[/math] и [math]3\pi[/math], при бо'льших [math]B[/math] нужно выбирать большие нули, ну и т. д.

dollemika писал(а):
Что насчет оценить снизу - ничего не приходит в голову, кроме бинома Ньютона, ну или того, что (1+1/x)^p >= x^p*(1+p/x^2), что в свою очередь равно p+1, если подставить нижнюю границу интегрирования.

Это не бином Ньютона, а обобщённое неравенство Бернулли, и оно неверно при [math]0<p<1[/math]. Так что этот путь можно проделать только при [math]p\geqslant1[/math], для остальных же пока непонятно.

А вообще я бы посоветовал Вам провести исследование функции, как Вы это делали в школе. :wink:
То есть найдите промежутки монотонности, постройте график и по нему определите это число.
Хотя есть и более простой способ, но я его Вам пока не скажу. :D1

Автор:  dollemika [ 17 апр 2012, 15:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Насчет оценивания функции снизу: выходит, что это число 2^p, т.к при p равном одному - 2 это минимум функции (для положительных x), а для p>0 и <1 минимум - 2^p. ? =)

Автор:  Human [ 17 апр 2012, 15:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

dollemika писал(а):
Насчет оценивания функции снизу: выходит, что это число 2^p, т.к при p равном одному - 2 это минимум функции (для положительных x), а для p>0 и <1 минимум - 2^p. ? =)


Да, [math]2^p[/math] тоже пойдёт, хотя я имел в виду единицу.
На самом деле, эту же оценку можно было получить, применив неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

[math]x+\frac1x\geqslant2[/math]


при любых положительных [math]x[/math]. Остаётся только нацепить [math]p[/math] в степени, поскольку при возведении в положительную степень знак неравенства сохраняется (отдельно в случае [math]p=0[/math] получается очевидное неравенство) .

Ну что ж, Вы разобрались с оценкой непериодической части функции, с пределами интегрирования. Теперь можете предоставить конечное доказательство по критерию Коши?

Автор:  dollemika [ 17 апр 2012, 16:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Т.е. теперь мы можем рассматривать такое неравенство:
[math]\int\limits_{b1}^{b2}\((x+1/x)^p)sin x{dx}>={2^p}\int\limits_{b1}^{b2}\sin x{dx}=2^p(-cosb2+cosb1)>=E[/math]
причем b1 и b2 мы всегда можем выбрать такие, что b1=n*pi, а b2=(n+1)*pi, где n-четное, тогда (-cosb2+cosb1) = 2, получается, что модуль интеграла >= 2^(p+1), значит мы нашли наше эпсилон? А что с p? Что-то здесь не так.. :-(

Автор:  Human [ 17 апр 2012, 18:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Наконец-то Вы начали пользоваться [math]\LaTeX[/math]ом. :) От себя пару замечаний по набору формул:
1) лишняя скобка в первом интеграле;
2) дроби набираются так: [math]\frac{x^2+\sin x}{x^3}[/math] (наведите курсор на формулу);
2) перед названиями функций типа синус, логарифм ставьте "\", как у Вас это сделано во втором интеграле;
3) дифференциал отделяйте от функции малым пробелом, задаваемым командой "\,";
4) знак "больше или равно" набирается так[math]\geq[/math] или так [math]\geqslant[/math]; соответственно "меньше либо равно" набирается так [math]\leq[/math] или [math]\leqslant[/math].
5) для подстрочных индексов используйте нижнее подчеркивание, как здесь: [math]b_1[/math]

Теперь насчёт док-ва. Можете добавить в конце:

[math]2^{p+1}\geqslant2[/math]


и в качестве [math]\varepsilon[/math] взять двойку, но пойдёт и так: мы ведь фактически исследуем на сходимость интеграл при определённом значении [math]p[/math]. То есть, например, при [math]p=1[/math] мы получим конкретный расходящийся интеграл, для которого в критерии Коши в качестве [math]\varepsilon[/math] взята четвёрка; при [math]p=2[/math] получим уже другой конкретный интеграл, для которого [math]\varepsilon=8[/math], и т. д. То есть [math]\varepsilon[/math] вполне себе может зависеть от [math]p[/math], главное только, чтоб оно положительное было.

Ну всё! Осталось только собрать все полученные результаты воедино и сделать вывод о сходимости первоначального интеграла.

Автор:  dollemika [ 18 апр 2012, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Пусть [math]\int\limits_{0}^{\infty}(x+\frac{1}{x})^psinx\,dx = (1) + (2)[/math], где (1) - интеграл второго рода, сходящийся абсолютно при [math]p<2[/math] и расходящийся при [math]p\geqslant2[/math], а (2) - интеграл первого рода, сходящийся абсолютно при [math]p<-1[/math], сходящийся условно при [math]-1\leqslant{p}<0[/math], и расходящийся при [math]p\geqslant0[/math].

Тогда исходный интеграл: сходится при [math]p<0[/math], абсолютно при [math]p<-1[/math] и условно при [math]-1\leqslant{p}<0[/math], расходится при [math]p\geqslant0[/math]? Так? :)

Страница 3 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/