| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16075 |
Страница 2 из 4 |
| Автор: | dollemika [ 15 апр 2012, 17:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
Для этого нам нужно доказать, что сходится интеграл от модуля f(x). Т.к. присутствует модуль, можно рассмотреть эквивалентную функцию, т.е. нужно доказать, что сходится интеграл (x^p)*|sinx|? Если и так, я не очень понимаю, как это сделать=( |
|
| Автор: | Human [ 15 апр 2012, 17:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
Подсказка: синус ограничен. |
|
| Автор: | dollemika [ 15 апр 2012, 17:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
(x^p)*|sinx|<=x^p, и если интеграл от большего сходится, то и от меньшего, а интеграл от 1/(x^(-p)) сходится, когда -p>1 или p<-1 => интеграл абс. сходится для такого р? =) |
|
| Автор: | Human [ 15 апр 2012, 18:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
Да, совершенно верно. Как видите, абсолютная сходимость доказывается достаточно просто. А вот сейчас начинается веселье . Промежуток [math]-1\leqslant p<0[/math]. Нужно доказать, что интеграл на нём сходится условно, то есть интеграл от самой функции сходится, а от её модуля расходится. Начнём с первого. Есть идеи?"С первого" - я имел в виду с интеграла от самой функции. Просто подумал, что можете неправильно понять.
|
|
| Автор: | dollemika [ 15 апр 2012, 18:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
Может быть признак Дирихле? Первообразная от g(x)=sinx - ограничена, а f(x)=(x+1/x) в степени [-1,0) равно 1/(x+1/x) в степени (0,1]. Полученная фи-я f(x) убывает с ростом х, но вот как доказать, что в пределе она равна 0? Если рассматривать максимальную степень знаменателя - 1, то предел 1/(x+1/x) при x->беск. равен нулю, значит ли это, что для любой степени от 0 до 1 данное свойство выполняется?.. В общем, если так, то это всё докажет условную сходимость интеграла. |
|
| Автор: | Human [ 15 апр 2012, 18:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
dollemika писал(а): Может быть признак Дирихле? Мысль верная. dollemika писал(а): f(x)=(x+1/x) в степени [-1,0) равно 1/(x+1/x) в степени (0,1]. Полученная фи-я f(x) убывает с ростом х Это, конечно, верно, но разве это так очевидно? Я бы для страховки взял производную. dollemika писал(а): но вот как доказать, что в пределе она равна 0? Если рассматривать максимальную степень знаменателя - 1, то предел 1/(x+1/x) при x->беск. равен нулю, значит ли это, что для любой степени от 0 до 1 данное свойство выполняется? [math]\left(x+\frac1x\right)^p=x^p\left(1+\frac1{x^2}\right)^p\sim x^p[/math] Это прояснило ситуацию? dollemika писал(а): В общем, если так, то это всё докажет условную сходимость интеграла. Не-а. Это только докажет, что интеграл от функции сходится в выбранном промежутке. Доказывать расходимость интеграла от модуля функции нужно отдельно. |
|
| Автор: | dollemika [ 15 апр 2012, 19:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
Всё то, что выше, теперь понятно. Непонятно то, как доказывать эту самую расходимость? =( |
|
| Автор: | Human [ 15 апр 2012, 19:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
dollemika писал(а): Всё то, что выше, теперь понятно. Непонятно то, как доказывать эту самую расходимость? =( Здесь, на самом деле, есть стандартный приём, который полезно знать: [math]\left|\left(x+\frac1x\right)^p\sin x\right|\sim x^p|\sin x|\geqslant x^p\sin^2x=\frac12x^p-\frac12x^p\cos2x[/math] Теперь воспроизведите рассуждения, на которые я Вас старался натолкнуть приведённым выше выражением.
|
|
| Автор: | dollemika [ 15 апр 2012, 19:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
Теперь, если доказать, что интеграл от конечной разности (разность интегралов) расходится, докажем, что расходится и нужный нам интеграл (т.к. если меньший расх.,то и больший тоже). Итак, интеграл от x^p расходится при p>=-1 (было где-то выше), но второй интеграл сходится по Дирихле, т.к. первообразная от cos2x - ограниченна, а x^p при p [-1,0) - убывает (производная <0) и предел = 0, т.к. x^p есть 1/x-в полож. степени, а при x->беск. это ->0. Т.е. получили разность расходящегося и сходящегося интеграла ?! |
|
| Автор: | Human [ 15 апр 2012, 19:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости |
Да, всё верно. Даже и добавить нечего. А разность расходящегося и сходящегося интегралов, естественно, расходится, иначе интеграл [math]x^p[/math] сходился бы как сумма соответствующих сходящихся (по предположению) интегралов. Ну что ж, теперь осталось самое сложное: доказать расходимость интеграла при [math]p\geqslant0[/math]. Лукавить не буду, скажу прямо: здесь придётся использовать критерий Коши, точнее его отрицание. Попробуйте сначала сами, если что, я помогу. |
|
| Страница 2 из 4 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|