Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16075
Страница 2 из 4

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 17:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Для этого нам нужно доказать, что сходится интеграл от модуля f(x). Т.к. присутствует модуль, можно рассмотреть эквивалентную функцию, т.е. нужно доказать, что сходится интеграл (x^p)*|sinx|? Если и так, я не очень понимаю, как это сделать=(

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 17:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Подсказка: синус ограничен.

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 17:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

(x^p)*|sinx|<=x^p, и если интеграл от большего сходится, то и от меньшего, а интеграл от 1/(x^(-p)) сходится, когда -p>1 или p<-1 => интеграл абс. сходится для такого р? =)

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 18:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Да, совершенно верно. Как видите, абсолютная сходимость доказывается достаточно просто.

А вот сейчас начинается веселье :twisted: . Промежуток [math]-1\leqslant p<0[/math]. Нужно доказать, что интеграл на нём сходится условно, то есть интеграл от самой функции сходится, а от её модуля расходится. Начнём с первого. Есть идеи?

"С первого" - я имел в виду с интеграла от самой функции. Просто подумал, что можете неправильно понять. :)

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 18:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Может быть признак Дирихле? Первообразная от g(x)=sinx - ограничена, а f(x)=(x+1/x) в степени [-1,0) равно 1/(x+1/x) в степени (0,1]. Полученная фи-я f(x) убывает с ростом х, но вот как доказать, что в пределе она равна 0? Если рассматривать максимальную степень знаменателя - 1, то предел 1/(x+1/x) при x->беск. равен нулю, значит ли это, что для любой степени от 0 до 1 данное свойство выполняется?.. В общем, если так, то это всё докажет условную сходимость интеграла.

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 18:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

dollemika писал(а):
Может быть признак Дирихле?

Мысль верная.

dollemika писал(а):
f(x)=(x+1/x) в степени [-1,0) равно 1/(x+1/x) в степени (0,1]. Полученная фи-я f(x) убывает с ростом х

Это, конечно, верно, но разве это так очевидно? Я бы для страховки взял производную.

dollemika писал(а):
но вот как доказать, что в пределе она равна 0? Если рассматривать максимальную степень знаменателя - 1, то предел 1/(x+1/x) при x->беск. равен нулю, значит ли это, что для любой степени от 0 до 1 данное свойство выполняется?


[math]\left(x+\frac1x\right)^p=x^p\left(1+\frac1{x^2}\right)^p\sim x^p[/math]


Это прояснило ситуацию?

dollemika писал(а):
В общем, если так, то это всё докажет условную сходимость интеграла.

Не-а. Это только докажет, что интеграл от функции сходится в выбранном промежутке. Доказывать расходимость интеграла от модуля функции нужно отдельно.

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 19:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Всё то, что выше, теперь понятно. Непонятно то, как доказывать эту самую расходимость? =(

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 19:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

dollemika писал(а):
Всё то, что выше, теперь понятно. Непонятно то, как доказывать эту самую расходимость? =(

Здесь, на самом деле, есть стандартный приём, который полезно знать:

[math]\left|\left(x+\frac1x\right)^p\sin x\right|\sim x^p|\sin x|\geqslant x^p\sin^2x=\frac12x^p-\frac12x^p\cos2x[/math]


Теперь воспроизведите рассуждения, на которые я Вас старался натолкнуть приведённым выше выражением. :)

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 19:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Теперь, если доказать, что интеграл от конечной разности (разность интегралов) расходится, докажем, что расходится и нужный нам интеграл (т.к. если меньший расх.,то и больший тоже). Итак, интеграл от x^p расходится при p>=-1 (было где-то выше), но второй интеграл сходится по Дирихле, т.к. первообразная от cos2x - ограниченна, а x^p при p [-1,0) - убывает (производная <0) и предел = 0, т.к. x^p есть 1/x-в полож. степени, а при x->беск. это ->0. Т.е. получили разность расходящегося и сходящегося интеграла ?!

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 19:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Да, всё верно. Даже и добавить нечего. :)
А разность расходящегося и сходящегося интегралов, естественно, расходится, иначе интеграл [math]x^p[/math] сходился бы как сумма соответствующих сходящихся (по предположению) интегралов.

Ну что ж, теперь осталось самое сложное: доказать расходимость интеграла при [math]p\geqslant0[/math]. Лукавить не буду, скажу прямо: здесь придётся использовать критерий Коши, точнее его отрицание. Попробуйте сначала сами, если что, я помогу.

Страница 2 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/