Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 17:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для этого нам нужно доказать, что сходится интеграл от модуля f(x). Т.к. присутствует модуль, можно рассмотреть эквивалентную функцию, т.е. нужно доказать, что сходится интеграл (x^p)*|sinx|? Если и так, я не очень понимаю, как это сделать=(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 17:49 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подсказка: синус ограничен.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 17:56 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
(x^p)*|sinx|<=x^p, и если интеграл от большего сходится, то и от меньшего, а интеграл от 1/(x^(-p)) сходится, когда -p>1 или p<-1 => интеграл абс. сходится для такого р? =)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 18:00 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, совершенно верно. Как видите, абсолютная сходимость доказывается достаточно просто.

А вот сейчас начинается веселье :twisted: . Промежуток [math]-1\leqslant p<0[/math]. Нужно доказать, что интеграл на нём сходится условно, то есть интеграл от самой функции сходится, а от её модуля расходится. Начнём с первого. Есть идеи?

"С первого" - я имел в виду с интеграла от самой функции. Просто подумал, что можете неправильно понять. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 18:37 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Может быть признак Дирихле? Первообразная от g(x)=sinx - ограничена, а f(x)=(x+1/x) в степени [-1,0) равно 1/(x+1/x) в степени (0,1]. Полученная фи-я f(x) убывает с ростом х, но вот как доказать, что в пределе она равна 0? Если рассматривать максимальную степень знаменателя - 1, то предел 1/(x+1/x) при x->беск. равен нулю, значит ли это, что для любой степени от 0 до 1 данное свойство выполняется?.. В общем, если так, то это всё докажет условную сходимость интеграла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 18:57 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
Может быть признак Дирихле?

Мысль верная.

dollemika писал(а):
f(x)=(x+1/x) в степени [-1,0) равно 1/(x+1/x) в степени (0,1]. Полученная фи-я f(x) убывает с ростом х

Это, конечно, верно, но разве это так очевидно? Я бы для страховки взял производную.

dollemika писал(а):
но вот как доказать, что в пределе она равна 0? Если рассматривать максимальную степень знаменателя - 1, то предел 1/(x+1/x) при x->беск. равен нулю, значит ли это, что для любой степени от 0 до 1 данное свойство выполняется?


[math]\left(x+\frac1x\right)^p=x^p\left(1+\frac1{x^2}\right)^p\sim x^p[/math]


Это прояснило ситуацию?

dollemika писал(а):
В общем, если так, то это всё докажет условную сходимость интеграла.

Не-а. Это только докажет, что интеграл от функции сходится в выбранном промежутке. Доказывать расходимость интеграла от модуля функции нужно отдельно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 19:17 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всё то, что выше, теперь понятно. Непонятно то, как доказывать эту самую расходимость? =(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 19:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
Всё то, что выше, теперь понятно. Непонятно то, как доказывать эту самую расходимость? =(

Здесь, на самом деле, есть стандартный приём, который полезно знать:

[math]\left|\left(x+\frac1x\right)^p\sin x\right|\sim x^p|\sin x|\geqslant x^p\sin^2x=\frac12x^p-\frac12x^p\cos2x[/math]


Теперь воспроизведите рассуждения, на которые я Вас старался натолкнуть приведённым выше выражением. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 19:50 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Теперь, если доказать, что интеграл от конечной разности (разность интегралов) расходится, докажем, что расходится и нужный нам интеграл (т.к. если меньший расх.,то и больший тоже). Итак, интеграл от x^p расходится при p>=-1 (было где-то выше), но второй интеграл сходится по Дирихле, т.к. первообразная от cos2x - ограниченна, а x^p при p [-1,0) - убывает (производная <0) и предел = 0, т.к. x^p есть 1/x-в полож. степени, а при x->беск. это ->0. Т.е. получили разность расходящегося и сходящегося интеграла ?!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 19:58 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, всё верно. Даже и добавить нечего. :)
А разность расходящегося и сходящегося интегралов, естественно, расходится, иначе интеграл [math]x^p[/math] сходился бы как сумма соответствующих сходящихся (по предположению) интегралов.

Ну что ж, теперь осталось самое сложное: доказать расходимость интеграла при [math]p\geqslant0[/math]. Лукавить не буду, скажу прямо: здесь придётся использовать критерий Коши, точнее его отрицание. Попробуйте сначала сами, если что, я помогу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.  Страница 2 из 4 [ Сообщений: 32 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти область сходимости

в форуме Ряды

photographer

2

696

08 янв 2018, 21:39

Найти область сходимости

в форуме Ряды

l_taksebematematik_

1

217

11 июн 2022, 01:27

Найти область сходимости

в форуме Ряды

photographer

4

463

27 мар 2015, 17:08

Найти область сходимости

в форуме Ряды

Arno

10

725

08 дек 2015, 19:06

Найти область сходимости

в форуме Ряды

Ekaterina_9_9

6

468

01 июн 2018, 11:26

Найти область сходимости

в форуме Ряды

351w

19

1517

31 дек 2017, 23:23

Найти область сходимости

в форуме Ряды

Zeninaan

1

469

22 мар 2016, 21:13

Найти область сходимости ряда

в форуме Ряды

Rollick

2

244

28 сен 2021, 16:34

Найти область сходимости ряда

в форуме Ряды

sd2380

5

469

03 июл 2020, 11:21

Найти область сходимости рядов

в форуме Ряды

lecter12345

2

279

04 апр 2015, 14:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved