Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 2 из 4 |
[ Сообщений: 32 ] | На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| dollemika |
|
|
|
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Подсказка: синус ограничен.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| dollemika |
|
|
|
(x^p)*|sinx|<=x^p, и если интеграл от большего сходится, то и от меньшего, а интеграл от 1/(x^(-p)) сходится, когда -p>1 или p<-1 => интеграл абс. сходится для такого р? =)
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Да, совершенно верно. Как видите, абсолютная сходимость доказывается достаточно просто.
А вот сейчас начинается веселье . Промежуток [math]-1\leqslant p<0[/math]. Нужно доказать, что интеграл на нём сходится условно, то есть интеграл от самой функции сходится, а от её модуля расходится. Начнём с первого. Есть идеи?"С первого" - я имел в виду с интеграла от самой функции. Просто подумал, что можете неправильно понять. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| dollemika |
|
|
|
Может быть признак Дирихле? Первообразная от g(x)=sinx - ограничена, а f(x)=(x+1/x) в степени [-1,0) равно 1/(x+1/x) в степени (0,1]. Полученная фи-я f(x) убывает с ростом х, но вот как доказать, что в пределе она равна 0? Если рассматривать максимальную степень знаменателя - 1, то предел 1/(x+1/x) при x->беск. равен нулю, значит ли это, что для любой степени от 0 до 1 данное свойство выполняется?.. В общем, если так, то это всё докажет условную сходимость интеграла.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
dollemika писал(а): Может быть признак Дирихле? Мысль верная. dollemika писал(а): f(x)=(x+1/x) в степени [-1,0) равно 1/(x+1/x) в степени (0,1]. Полученная фи-я f(x) убывает с ростом х Это, конечно, верно, но разве это так очевидно? Я бы для страховки взял производную. dollemika писал(а): но вот как доказать, что в пределе она равна 0? Если рассматривать максимальную степень знаменателя - 1, то предел 1/(x+1/x) при x->беск. равен нулю, значит ли это, что для любой степени от 0 до 1 данное свойство выполняется? [math]\left(x+\frac1x\right)^p=x^p\left(1+\frac1{x^2}\right)^p\sim x^p[/math] Это прояснило ситуацию? dollemika писал(а): В общем, если так, то это всё докажет условную сходимость интеграла. Не-а. Это только докажет, что интеграл от функции сходится в выбранном промежутке. Доказывать расходимость интеграла от модуля функции нужно отдельно. |
||
| Вернуться к началу | ||
| dollemika |
|
|
|
Всё то, что выше, теперь понятно. Непонятно то, как доказывать эту самую расходимость? =(
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
dollemika писал(а): Всё то, что выше, теперь понятно. Непонятно то, как доказывать эту самую расходимость? =( Здесь, на самом деле, есть стандартный приём, который полезно знать: [math]\left|\left(x+\frac1x\right)^p\sin x\right|\sim x^p|\sin x|\geqslant x^p\sin^2x=\frac12x^p-\frac12x^p\cos2x[/math] Теперь воспроизведите рассуждения, на которые я Вас старался натолкнуть приведённым выше выражением. ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| dollemika |
|
|
|
Теперь, если доказать, что интеграл от конечной разности (разность интегралов) расходится, докажем, что расходится и нужный нам интеграл (т.к. если меньший расх.,то и больший тоже). Итак, интеграл от x^p расходится при p>=-1 (было где-то выше), но второй интеграл сходится по Дирихле, т.к. первообразная от cos2x - ограниченна, а x^p при p [-1,0) - убывает (производная <0) и предел = 0, т.к. x^p есть 1/x-в полож. степени, а при x->беск. это ->0. Т.е. получили разность расходящегося и сходящегося интеграла ?!
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Да, всё верно. Даже и добавить нечего.
А разность расходящегося и сходящегося интегралов, естественно, расходится, иначе интеграл [math]x^p[/math] сходился бы как сумма соответствующих сходящихся (по предположению) интегралов. Ну что ж, теперь осталось самое сложное: доказать расходимость интеграла при [math]p\geqslant0[/math]. Лукавить не буду, скажу прямо: здесь придётся использовать критерий Коши, точнее его отрицание. Попробуйте сначала сами, если что, я помогу. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу Пред. 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 32 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
2 |
696 |
08 янв 2018, 21:39 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
1 |
217 |
11 июн 2022, 01:27 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
4 |
463 |
27 мар 2015, 17:08 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
10 |
725 |
08 дек 2015, 19:06 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
6 |
468 |
01 июн 2018, 11:26 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
19 |
1517 |
31 дек 2017, 23:23 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
1 |
469 |
22 мар 2016, 21:13 |
|
|
Найти область сходимости ряда
в форуме Ряды |
2 |
244 |
28 сен 2021, 16:34 |
|
|
Найти область сходимости ряда
в форуме Ряды |
5 |
469 |
03 июл 2020, 11:21 |
|
|
Найти область сходимости рядов
в форуме Ряды |
2 |
279 |
04 апр 2015, 14:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |