Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16075
Страница 1 из 4

Автор:  dollemika [ 11 апр 2012, 18:31 ]
Заголовок сообщения:  Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Помогите пожалуйста найти область абсолютной и условной сходимости для интеграла

((x+1/x)^p) * sinx dx - интеграл от 0 до бесконечности.

Автор:  Human [ 11 апр 2012, 22:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Какие-нибудь попытки решения предпринимали? Выложите здесь, чтобы я понял, в чём конкретно проблема.

Автор:  dollemika [ 12 апр 2012, 16:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

дело в том, что я не очень понимаю эту тему в принципе. Все признаки и критерии сходимости понятны, а на практике не очень получается решать=(

Автор:  Human [ 12 апр 2012, 18:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Тогда пойдём последовательно: Вы знаете, кто такие несобственные интегралы 1-ого и 2-ого рода? Ваш интеграл является одним из них? Если нет, то как его свести к этим интегралам?

Автор:  dollemika [ 12 апр 2012, 19:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Несобственные интегралы знакомы, мой интеграл сводится к сумме интегралов 1-го и 2-го рода?
От 0 до 1 - интеграл второго рода (функция не опред в точке ноль), а от 1 до бесконечности - первого ? Так?

Автор:  Human [ 12 апр 2012, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Да, всё так.
Рассмотрим теперь первый интеграл, тот, который второго рода. Обычно при исследовании сходимости помогает рассмотреть более простые функции, которые эквивалентны подынтегральной при переменной, стремящейся к особенности интеграла. Чему эквивалентна эта функция в Вашем случае при [math]x\to 0[/math]?

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 14:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

При x->0 sinx можно заменить на х(т.к. lim sinx/x=1 при x->0), а (x+1/x)^p на (1/x)^p, тогда мы получим интеграл от 1/x^(p-1) и сможем предположить, что он сходится при (p-1)<1 ? А что насчет абсолютной или условной сходимости, и вообще, что нибудь из того, что я сделала, правильно? =)

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 15:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

Ваше предположение можно превратить в строгое доказательство, если учесть, что подынтегральная функция положительна на полуинтервале [math](0; 1][/math], и значит можно воспользоваться признаком сравнения в предельной форме. Тогда действительно, как Вы и написали, первый интеграл сходится при [math]p<2[/math] и расходится при всех остальных [math]p[/math]. А насчёт абсолютной и условной сходимости подумайте сами, вспомните определения. Не забудьте учесть положительность функции.

Автор:  dollemika [ 15 апр 2012, 16:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

На полуинтервале (0,1] sinx - положителен, как и (x+1/x), следовательно и всё подинтегральное выражение - f(x). Интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл от модуля f(x). В силу первого утверждения - модуль f(x) = f(x) => интеграл сходится абсолютно при p<2, так?

Если рассмотреть второй интеграл на промежутке [1,+беск.), то при х->+беск. f(x) сводится к (x^p)*sinx=sinx/(x^(-p)). По признаку сходимости Дирихле такой интеграл сходится условно при -p>0, ну или p<0. А что, в результате всего этого, мы можем сказать об исходном интеграле??

Автор:  Human [ 15 апр 2012, 17:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости

dollemika писал(а):
На полуинтервале (0,1] sinx - положителен, как и (x+1/x), следовательно и всё подинтегральное выражение - f(x). Интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл от модуля f(x). В силу первого утверждения - модуль f(x) = f(x) => интеграл сходится абсолютно при p<2, так?

Всё верно, только по хорошему нужно ещё добавить, что интеграл расходится при [math]p\geqslant2[/math].

dollemika писал(а):
Если рассмотреть второй интеграл на промежутке [1,+беск.), то при х->+беск. f(x) сводится к (x^p)*sinx=sinx/(x^(-p)). По признаку сходимости Дирихле такой интеграл сходится условно при -p>0, ну или p<0. А что, в результате всего этого, мы можем сказать об исходном интеграле??

А вот здесь Вы поторопились: подынтегральная функция на бесконечности уже постоянно меняет знак, поэтому признаками сравнения пользоваться нельзя (а Вы им воспользовались, когда вместо исходной функции стали рассматривать ей эквивалентную). Однако, тем не менее, эквивалентная функция поможет нам догадаться о характере сходимости интеграла исходной функции. Как Вы уже нашли ранее, эквивалентная функция имеет вид:

[math]\frac{\sin x}{x^{-p}}[/math]


Если сравнить её с известным ("эталонным") интегралом

[math]\int\limits_1^{\infty}\frac{\sin x}{x^p}[/math]


то можно предположить, что наш интеграл сходится абсолютно при [math]p<-1[/math], сходится условно при [math]-1\leqslant p<0[/math] и расходится при [math]p\geqslant0[/math]. Осталось только это всё аккуратно и правильно доказать.

Будем идти от простого к сложному. Начнём с промежутка [math]p<-1[/math]. Можете доказать, что на этом промежутке интеграл сходится абсолютно?

Страница 1 из 4 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/