Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 11 апр 2012, 18:31 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста найти область абсолютной и условной сходимости для интеграла

((x+1/x)^p) * sinx dx - интеграл от 0 до бесконечности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 11 апр 2012, 22:39 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Какие-нибудь попытки решения предпринимали? Выложите здесь, чтобы я понял, в чём конкретно проблема.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 12 апр 2012, 16:38 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
дело в том, что я не очень понимаю эту тему в принципе. Все признаки и критерии сходимости понятны, а на практике не очень получается решать=(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 12 апр 2012, 18:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда пойдём последовательно: Вы знаете, кто такие несобственные интегралы 1-ого и 2-ого рода? Ваш интеграл является одним из них? Если нет, то как его свести к этим интегралам?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 12 апр 2012, 19:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Несобственные интегралы знакомы, мой интеграл сводится к сумме интегралов 1-го и 2-го рода?
От 0 до 1 - интеграл второго рода (функция не опред в точке ноль), а от 1 до бесконечности - первого ? Так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 12 апр 2012, 22:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, всё так.
Рассмотрим теперь первый интеграл, тот, который второго рода. Обычно при исследовании сходимости помогает рассмотреть более простые функции, которые эквивалентны подынтегральной при переменной, стремящейся к особенности интеграла. Чему эквивалентна эта функция в Вашем случае при [math]x\to 0[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 14:11 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При x->0 sinx можно заменить на х(т.к. lim sinx/x=1 при x->0), а (x+1/x)^p на (1/x)^p, тогда мы получим интеграл от 1/x^(p-1) и сможем предположить, что он сходится при (p-1)<1 ? А что насчет абсолютной или условной сходимости, и вообще, что нибудь из того, что я сделала, правильно? =)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 15:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ваше предположение можно превратить в строгое доказательство, если учесть, что подынтегральная функция положительна на полуинтервале [math](0; 1][/math], и значит можно воспользоваться признаком сравнения в предельной форме. Тогда действительно, как Вы и написали, первый интеграл сходится при [math]p<2[/math] и расходится при всех остальных [math]p[/math]. А насчёт абсолютной и условной сходимости подумайте сами, вспомните определения. Не забудьте учесть положительность функции.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 16:40 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
23 ноя 2011, 21:55
Сообщений: 58
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На полуинтервале (0,1] sinx - положителен, как и (x+1/x), следовательно и всё подинтегральное выражение - f(x). Интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл от модуля f(x). В силу первого утверждения - модуль f(x) = f(x) => интеграл сходится абсолютно при p<2, так?

Если рассмотреть второй интеграл на промежутке [1,+беск.), то при х->+беск. f(x) сводится к (x^p)*sinx=sinx/(x^(-p)). По признаку сходимости Дирихле такой интеграл сходится условно при -p>0, ну или p<0. А что, в результате всего этого, мы можем сказать об исходном интеграле??

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобств. интеграл: найти область абс. и условн. сходимости
СообщениеДобавлено: 15 апр 2012, 17:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dollemika писал(а):
На полуинтервале (0,1] sinx - положителен, как и (x+1/x), следовательно и всё подинтегральное выражение - f(x). Интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл от модуля f(x). В силу первого утверждения - модуль f(x) = f(x) => интеграл сходится абсолютно при p<2, так?

Всё верно, только по хорошему нужно ещё добавить, что интеграл расходится при [math]p\geqslant2[/math].

dollemika писал(а):
Если рассмотреть второй интеграл на промежутке [1,+беск.), то при х->+беск. f(x) сводится к (x^p)*sinx=sinx/(x^(-p)). По признаку сходимости Дирихле такой интеграл сходится условно при -p>0, ну или p<0. А что, в результате всего этого, мы можем сказать об исходном интеграле??

А вот здесь Вы поторопились: подынтегральная функция на бесконечности уже постоянно меняет знак, поэтому признаками сравнения пользоваться нельзя (а Вы им воспользовались, когда вместо исходной функции стали рассматривать ей эквивалентную). Однако, тем не менее, эквивалентная функция поможет нам догадаться о характере сходимости интеграла исходной функции. Как Вы уже нашли ранее, эквивалентная функция имеет вид:

[math]\frac{\sin x}{x^{-p}}[/math]


Если сравнить её с известным ("эталонным") интегралом

[math]\int\limits_1^{\infty}\frac{\sin x}{x^p}[/math]


то можно предположить, что наш интеграл сходится абсолютно при [math]p<-1[/math], сходится условно при [math]-1\leqslant p<0[/math] и расходится при [math]p\geqslant0[/math]. Осталось только это всё аккуратно и правильно доказать.

Будем идти от простого к сложному. Начнём с промежутка [math]p<-1[/math]. Можете доказать, что на этом промежутке интеграл сходится абсолютно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2, 3, 4  След.  Страница 1 из 4 [ Сообщений: 32 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти область сходимости

в форуме Ряды

photographer

2

696

08 янв 2018, 21:39

Найти область сходимости

в форуме Ряды

l_taksebematematik_

1

217

11 июн 2022, 01:27

Найти область сходимости

в форуме Ряды

photographer

4

463

27 мар 2015, 17:08

Найти область сходимости

в форуме Ряды

Arno

10

725

08 дек 2015, 19:06

Найти область сходимости

в форуме Ряды

Ekaterina_9_9

6

468

01 июн 2018, 11:26

Найти область сходимости

в форуме Ряды

351w

19

1517

31 дек 2017, 23:23

Найти область сходимости

в форуме Ряды

Zeninaan

1

469

22 мар 2016, 21:13

Найти область сходимости ряда

в форуме Ряды

Rollick

2

244

28 сен 2021, 16:34

Найти область сходимости ряда

в форуме Ряды

sd2380

5

469

03 июл 2020, 11:21

Найти область сходимости рядов

в форуме Ряды

lecter12345

2

279

04 апр 2015, 14:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved