Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 4 |
[ Сообщений: 32 ] | На страницу 1, 2, 3, 4 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| dollemika |
|
|
|
((x+1/x)^p) * sinx dx - интеграл от 0 до бесконечности. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Какие-нибудь попытки решения предпринимали? Выложите здесь, чтобы я понял, в чём конкретно проблема.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| dollemika |
|
|
|
дело в том, что я не очень понимаю эту тему в принципе. Все признаки и критерии сходимости понятны, а на практике не очень получается решать=(
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Тогда пойдём последовательно: Вы знаете, кто такие несобственные интегралы 1-ого и 2-ого рода? Ваш интеграл является одним из них? Если нет, то как его свести к этим интегралам?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| dollemika |
|
|
|
Несобственные интегралы знакомы, мой интеграл сводится к сумме интегралов 1-го и 2-го рода?
От 0 до 1 - интеграл второго рода (функция не опред в точке ноль), а от 1 до бесконечности - первого ? Так? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Да, всё так.
Рассмотрим теперь первый интеграл, тот, который второго рода. Обычно при исследовании сходимости помогает рассмотреть более простые функции, которые эквивалентны подынтегральной при переменной, стремящейся к особенности интеграла. Чему эквивалентна эта функция в Вашем случае при [math]x\to 0[/math]? |
||
| Вернуться к началу | ||
| dollemika |
|
|
|
При x->0 sinx можно заменить на х(т.к. lim sinx/x=1 при x->0), а (x+1/x)^p на (1/x)^p, тогда мы получим интеграл от 1/x^(p-1) и сможем предположить, что он сходится при (p-1)<1 ? А что насчет абсолютной или условной сходимости, и вообще, что нибудь из того, что я сделала, правильно? =)
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Ваше предположение можно превратить в строгое доказательство, если учесть, что подынтегральная функция положительна на полуинтервале [math](0; 1][/math], и значит можно воспользоваться признаком сравнения в предельной форме. Тогда действительно, как Вы и написали, первый интеграл сходится при [math]p<2[/math] и расходится при всех остальных [math]p[/math]. А насчёт абсолютной и условной сходимости подумайте сами, вспомните определения. Не забудьте учесть положительность функции.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| dollemika |
|
|
|
На полуинтервале (0,1] sinx - положителен, как и (x+1/x), следовательно и всё подинтегральное выражение - f(x). Интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл от модуля f(x). В силу первого утверждения - модуль f(x) = f(x) => интеграл сходится абсолютно при p<2, так?
Если рассмотреть второй интеграл на промежутке [1,+беск.), то при х->+беск. f(x) сводится к (x^p)*sinx=sinx/(x^(-p)). По признаку сходимости Дирихле такой интеграл сходится условно при -p>0, ну или p<0. А что, в результате всего этого, мы можем сказать об исходном интеграле?? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
dollemika писал(а): На полуинтервале (0,1] sinx - положителен, как и (x+1/x), следовательно и всё подинтегральное выражение - f(x). Интеграл сходится абсолютно, если сходится интеграл от модуля f(x). В силу первого утверждения - модуль f(x) = f(x) => интеграл сходится абсолютно при p<2, так? Всё верно, только по хорошему нужно ещё добавить, что интеграл расходится при [math]p\geqslant2[/math]. dollemika писал(а): Если рассмотреть второй интеграл на промежутке [1,+беск.), то при х->+беск. f(x) сводится к (x^p)*sinx=sinx/(x^(-p)). По признаку сходимости Дирихле такой интеграл сходится условно при -p>0, ну или p<0. А что, в результате всего этого, мы можем сказать об исходном интеграле?? А вот здесь Вы поторопились: подынтегральная функция на бесконечности уже постоянно меняет знак, поэтому признаками сравнения пользоваться нельзя (а Вы им воспользовались, когда вместо исходной функции стали рассматривать ей эквивалентную). Однако, тем не менее, эквивалентная функция поможет нам догадаться о характере сходимости интеграла исходной функции. Как Вы уже нашли ранее, эквивалентная функция имеет вид: [math]\frac{\sin x}{x^{-p}}[/math] Если сравнить её с известным ("эталонным") интегралом [math]\int\limits_1^{\infty}\frac{\sin x}{x^p}[/math] то можно предположить, что наш интеграл сходится абсолютно при [math]p<-1[/math], сходится условно при [math]-1\leqslant p<0[/math] и расходится при [math]p\geqslant0[/math]. Осталось только это всё аккуратно и правильно доказать. Будем идти от простого к сложному. Начнём с промежутка [math]p<-1[/math]. Можете доказать, что на этом промежутке интеграл сходится абсолютно? |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Alexdemath |
||
|
На страницу 1, 2, 3, 4 След. | [ Сообщений: 32 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
2 |
696 |
08 янв 2018, 21:39 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
1 |
217 |
11 июн 2022, 01:27 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
4 |
463 |
27 мар 2015, 17:08 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
10 |
725 |
08 дек 2015, 19:06 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
6 |
468 |
01 июн 2018, 11:26 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
19 |
1517 |
31 дек 2017, 23:23 |
|
|
Найти область сходимости
в форуме Ряды |
1 |
469 |
22 мар 2016, 21:13 |
|
|
Найти область сходимости ряда
в форуме Ряды |
2 |
244 |
28 сен 2021, 16:34 |
|
|
Найти область сходимости ряда
в форуме Ряды |
5 |
469 |
03 июл 2020, 11:21 |
|
|
Найти область сходимости рядов
в форуме Ряды |
2 |
279 |
04 апр 2015, 14:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |