Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16069
Страница 1 из 1

Автор:  scalpellum [ 11 апр 2012, 14:21 ]
Заголовок сообщения:  Несобственный интеграл

[math]\int\limits_0^\infty {\frac{1}{x}} \ln \frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} + b}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2} + b}}dx,\,\,\,a,b > 0[/math]

Помогите, пожалуйста, взять, все справочники перерыл(

Автор:  Avgust [ 11 апр 2012, 18:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Такой результат Вас устроит?

Изображение

При положительных a и b:

Изображение

Автор:  scalpellum [ 11 апр 2012, 19:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Спасибо. Я посмотрю, но подобный ответ я получал. После преобразований, там получился комплексный ответ. Численное вычисление дает вещественный результат. Склоняюсь к численному вычисления интеграла и аппроксимации ответа.

Автор:  Prokop [ 11 апр 2012, 20:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Выполним замену переменной [math]x = at[/math] и положим [math]\alpha ^2 = \frac{b}{{a^2 }}[/math]. Тогда исходный интеграл равен
[math]I = \int\limits_0^\infty {\frac{1}{t}\ln \frac{{\left( {t + 1} \right)^2 +\alpha ^2}}{{\left( {t - 1} \right)^2 + \alpha ^2 }}dt} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_\varepsilon ^\infty {\frac{1}{t}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2\left( {t + y} \right)}}{{\left( {t + y} \right)^2 + \alpha ^2 }}dy} } \right)dt} = \mathop {\lim \limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\int\limits_\varepsilon ^\infty {\frac{1}{t}\frac{{2\left( {t + y} \right)}}{{\left( {t + y} \right)^2 + \alpha ^2 }}dt} } \right)dy}[/math]
Далее находим внутренний интеграл и вычисляем предел
[math]I = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_{ - 1}^1 {\left. {\frac{{2\alpha \operatorname{arctg} \frac{{t + y}}{\alpha } + 2y\ln t - y\ln \left( {\left( {t + y} \right)^2 + \alpha ^2 } \right)}}{{y^2 + \alpha ^2 }}} \right|_\varepsilon ^\infty dy} = 2\pi \operatorname{arctg} \frac{1}{\alpha } = 2\pi \operatorname{arctg} \frac{a}{{\sqrt b }}[/math]

Автор:  Avgust [ 11 апр 2012, 21:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Красиво!!!!

Автор:  scalpellum [ 11 апр 2012, 21:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Спасибо большое! Очень красивое решение!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/