Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 апр 2012, 14:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2012, 14:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\limits_0^\infty {\frac{1}{x}} \ln \frac{{{{\left( {x + a} \right)}^2} + b}}{{{{\left( {x - a} \right)}^2} + b}}dx,\,\,\,a,b > 0[/math]

Помогите, пожалуйста, взять, все справочники перерыл(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 апр 2012, 18:21 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Такой результат Вас устроит?

Изображение

При положительных a и b:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 апр 2012, 19:53 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2012, 14:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. Я посмотрю, но подобный ответ я получал. После преобразований, там получился комплексный ответ. Численное вычисление дает вещественный результат. Склоняюсь к численному вычисления интеграла и аппроксимации ответа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 апр 2012, 20:57 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Выполним замену переменной [math]x = at[/math] и положим [math]\alpha ^2 = \frac{b}{{a^2 }}[/math]. Тогда исходный интеграл равен
[math]I = \int\limits_0^\infty {\frac{1}{t}\ln \frac{{\left( {t + 1} \right)^2 +\alpha ^2}}{{\left( {t - 1} \right)^2 + \alpha ^2 }}dt} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_\varepsilon ^\infty {\frac{1}{t}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{2\left( {t + y} \right)}}{{\left( {t + y} \right)^2 + \alpha ^2 }}dy} } \right)dt} = \mathop {\lim \limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {\int\limits_\varepsilon ^\infty {\frac{1}{t}\frac{{2\left( {t + y} \right)}}{{\left( {t + y} \right)^2 + \alpha ^2 }}dt} } \right)dy}[/math]
Далее находим внутренний интеграл и вычисляем предел
[math]I = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_{ - 1}^1 {\left. {\frac{{2\alpha \operatorname{arctg} \frac{{t + y}}{\alpha } + 2y\ln t - y\ln \left( {\left( {t + y} \right)^2 + \alpha ^2 } \right)}}{{y^2 + \alpha ^2 }}} \right|_\varepsilon ^\infty dy} = 2\pi \operatorname{arctg} \frac{1}{\alpha } = 2\pi \operatorname{arctg} \frac{a}{{\sqrt b }}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
scalpellum
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 апр 2012, 21:24 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Красиво!!!!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 11 апр 2012, 21:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
11 апр 2012, 14:04
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое! Очень красивое решение!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

2

296

29 ноя 2017, 19:34

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Katrina7

5

305

26 окт 2017, 16:20

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

buffon96

0

217

06 май 2015, 14:54

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ExtreMaLLlka

7

749

24 июн 2015, 08:42

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alexand

2

144

16 май 2020, 14:11

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

photographer

1

544

10 май 2015, 15:07

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

1

248

27 дек 2020, 22:56

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

1

133

27 дек 2020, 22:43

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Zema480

0

248

24 окт 2015, 11:54

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

351w

12

365

27 дек 2020, 22:49


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved