Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределенные интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16030
Страница 1 из 5

Автор:  CaHCaHbl4 [ 08 апр 2012, 23:15 ]
Заголовок сообщения:  Неопределенные интегралы

Уважаемые Гуру.
Задали курсовую, немного неукладываюсь в сроки :(
Извините, но не могли бы Вы мне помочь решить некоторые примеры.
Ненужны все, просто хоть немного уменьшить объем работы.
уже сделал 1 3 15 24 28
Заранее очень благодарен.

Автор:  Human [ 09 апр 2012, 01:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Задача № 25 очень понравилась. Решая её, многое понял (сам я студент). Ответ вроде бы такой:

[math]-\frac12(b-a)(f(b)-f(a))[/math]

Автор:  Yurik [ 09 апр 2012, 09:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

[math]S = \int\limits_0^\pi {{{\left( {3 + 2\cos \varphi } \right)}^2}d\varphi } = \int\limits_0^\pi {\left( {9 + 12\cos \varphi + 4{{\cos }^2}\varphi } \right)d\varphi } = \int\limits_0^\pi {\left( {9 + 12\cos \varphi + 2 + 2\cos 2\varphi } \right)d\varphi } = ...[/math]


[math]\int_{}^{} {{x^2}\sqrt {{a^2} + {x^2}} dx} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \,\, = > \,\,x = \sqrt {{t^2} - {a^2}} \hfill \\ dx = \frac{{tdt}}{{\sqrt {{t^2} - {a^2}} }} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int_{}^{} {\frac{{t\left( {{t^2} - {a^2}} \right)}}{{\sqrt {{t^2} - {a^2}} }}dt} = \frac{1}{2}\int_{}^{} {\sqrt {{t^2} - {a^2}} d\left( {{t^2} - {a^2}} \right)} = ...[/math]


[math]\int_{}^{} {\frac{{\sqrt x + 3}}{{{x^2} + \sqrt x }}dx} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt x \,\, = > \,\,x = {t^2} \hfill \\ dx = 2tdt \hfill \\ \end{gathered} \right| = 2\int_{}^{} {\frac{{t\left( {t + 3} \right)}}{{{t^4} + t}}dt} = 2\int_{}^{} {\frac{{t + 3}}{{\left( {t + 1} \right)\left( {{t^2} - t + 1} \right)}}dt} = ...[/math]

Автор:  CaH_CaHbl4 [ 09 апр 2012, 10:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Yurik
спасибо конечно, но как раз эти номера я решил =) я же выше написал, что решил. а на фото решеные галочками отметил

Автор:  CaHCaHbl4 [ 09 апр 2012, 11:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Human писал(а):
Задача № 25 очень понравилась. Решая её, многое понял (сам я студент). Ответ вроде бы такой:

[math]-\frac12(b-a)(f(b)-f(a))[/math]

а можно алгоритм решения? а то ответ как то немногое дает.хочу сам решить.. ну или на мысль натолкните

Автор:  Yurik [ 09 апр 2012, 11:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Извини, неправильно тебя понял, но тогда это слишком много. В качестве бонуса покажу 20-й.

[math]\int_{}^{} {\frac{{xdx}}{{{{\sin }^2}x}}} = \left| \begin{gathered} u = x\,\, = > \,\,du = dx \hfill \\ dv = \frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\,\, = > \,\,v = - ctg\,x \hfill \\ \end{gathered} \right| = - x\,\,ctg\,x + \int_{}^{} {ctg\,x\,dx} = ...\[/math]

Автор:  CaHCaHbl4 [ 09 апр 2012, 11:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Yurik
спасибо =) да я и не прошу мне все решить =) у меня еще в времени до конца недели.
просто с мира по нитке, как говорится...

Автор:  Human [ 09 апр 2012, 13:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

CaHCaHbl4 писал(а):
а можно алгоритм решения? а то ответ как то немногое дает.хочу сам решить.. ну или на мысль натолкните

Задачка очень нестандартная, по крайней мере для меня. Вот решение:

Пусть [math]F(x)[/math] - некоторая первообразная функции [math]f(x)[/math] на отрезке [math][a; b][/math]. Тогда:

[math]\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)=\sum_{k=1}^n\left[F\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)-F\left(a+\frac{(k-1)(b-a)}n\right)\right][/math]


По условию функция [math]F(x)[/math] - дважды дифференцируема на отрезке [math][a; b][/math], поэтому согласно формуле Тейлоре 2-ого порядка с остаточным членом в форме Лагранжа имеем:

[math]F\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)-F\left(a+\frac{(k-1)(b-a)}n\right)=\frac{b-a}n f\left(a+\frac{(k-1)(b-a)}n\right)+\frac{(b-a)^2}{2n^2}f'(\xi_k)[/math]


где [math]\xi_k\in\left[a+\frac{(k-1)(b-a)}n; a+\frac{k(b-a)}n\right],\ k=\overline{1,n}[/math]
Тогда:

[math]\Delta_n=\frac{b-a}n\sum_{k=1}^n\left[f\left(a+\frac{(k-1)(b-a)}n\right)-f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)\right]+\frac{b-a}{2n}\sum_{k=1}^n f'(\xi_k)\frac{b-a}n[/math]

Автор:  Human [ 09 апр 2012, 13:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

[math]\Delta_n=\frac{b-a}n(f(a)-f(b))+\frac{b-a}{2n}\sum_{k=1}^n f'(\xi_k)\frac{b-a}n[/math]


[math]n\Delta_n=-(b-a)(f(b)-f(a))+\frac{b-a}2\sum_{k=1}^n f'(\xi_k)\frac{b-a}n[/math]


Теперь, по условию функция [math]f'(x)[/math] непрерывна на отрезке, а значит и интегрируема на нём, поэтому все интегральные суммы для этой функции сходятся к её определённому интегралу. Осталось заметить, что сумма, стоящая в последней формуле, - это и есть одна из интегральных сумм для функции [math]f'(x)[/math], значит

[math]\lim_{n\to\infty}n\Delta_n=-(b-a)(f(b)-f(a))+\frac{b-a}2(f(b)-f(a))=-\frac12(b-a)(f(b)-f(a))[/math]


Проверил это выражение для [math]f(x)=x[/math], вроде подходит :D1

Автор:  Human [ 09 апр 2012, 13:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенные интегралы

Ещё я второй порешал, вот мои идеи:

[math]\int\sqrt{\sin 2x}\sin x\,dx=-\int\sqrt{\sin2x}\,d(\cos x)=-\sqrt{\sin2x}\cos x+\int\frac{\cos x\cos2x}{\sqrt{\sin2x}}\,dx[/math]


Выражение в последнем интеграле можно преобразовать так:

[math]\frac{\cos x\cos2x}{\sqrt{\sin2x}}=\frac{\sqrt{\sin2x}\cos x}{2\sin x\cos x}(1-2\sin^2x)=\frac12\sqrt{\cot x}-\sqrt{\sin 2x}\sin x[/math]


То есть второе слагаемое в точности такое, как изначальное, а первый интеграл заменой
[math]t^2=\cot x[/math]
сводится к рациональному, который с трудом и со скрипом, но всё-таки берётся.

А вообще задания нехилые :%) У Вас какой-то особый уличный универ?

Страница 1 из 5 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/