Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределенный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16024
Страница 1 из 2

Автор:  zhur1n [ 08 апр 2012, 20:48 ]
Заголовок сообщения:  Неопределенный интеграл

[math]\begin{gathered} \int {{e^{\sqrt x }}} dx \hfill \\\int {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} dx} \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Помогите посчитать пожалуйста

Автор:  Avgust [ 08 апр 2012, 21:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Первый интеграл: замена [math]x=t^2, \quad dx=2tdt, \quad e^{\sqrt{x}}=e^t ,\quad[/math] далее по частям.

Автор:  Human [ 08 апр 2012, 21:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Во втором выделить полный квадрат, ввести соответствующую замену и потом взять по частям.

Автор:  zhur1n [ 08 апр 2012, 21:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Я так понимаю это [math]\int {udv = uv - \int {vdu} }[/math] .
Тогда за [math]u[/math] брать [math]e[/math]?

Автор:  zhur1n [ 08 апр 2012, 21:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Human писал(а):
Во втором выделить полный квадрат, ввести соответствующую замену и потом взять по частям.

Вы имеете ввиду [math]{(2x - 1)^2}[/math], так вроде не получается

Автор:  Human [ 08 апр 2012, 21:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

zhur1n писал(а):
Я так понимаю это [math]\int {udv = uv - \int {vdu} }[/math] .
Тогда за [math]u[/math] брать [math]e[/math]?


Ну Вы попробуйте. Если интеграл станет сложнее, то значит нужно было делать наоборот.
zhur1n писал(а):
Вы имеете ввиду [math]{(2x - 1)^2}[/math], так вроде не получается

Полный квадрат выделяется на основе первых двух слагаемых:
[math]4x^2-2x+1=4x^2-2\cdot2x\cdot\frac12+\frac14-\frac14+1=\left(2x-\frac12\right)^2+\frac34[/math]

Автор:  zhur1n [ 08 апр 2012, 23:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

[math]\begin{gathered}\sqrt x = t; \hfill \\dt = \frac{1}{{2\sqrt x }}dx; \hfill \\\int {{e^{\sqrt x }}} dx = 2\int {{e^t} \cdot tdt} ; \hfill \\\int {udv = uv - \int {vdu;} } \hfill \\u = t; \hfill \\v = {e^t}; \hfill \\dv = {e^t}dt; \hfill \\du = dt; \hfill \\\int {t \cdot {e^t}} \cdot dt = t \cdot {e^t} - \int {{e^t}} \cdot dt; \hfill \\2{e^t} \cdot t - 2{e^t} + const = 2{e^{\sqrt x }} \cdot \sqrt x - 2{e^{\sqrt x }} + const = 2{e^{\sqrt x }}(\sqrt x - 1) + const \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Посмотрите пожалуйста, правильно ли я проинтегрировал по частям?

Автор:  Uncle Fedor [ 09 апр 2012, 00:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Первый интеграл вычислили правильно.

Автор:  zhur1n [ 09 апр 2012, 00:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Помогите плз со вторым, не клеется :( ...

Автор:  Uncle Fedor [ 09 апр 2012, 00:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределенный интеграл

Есть несколько способов вычисления второго интеграла. Один из них - метод неопределённых коэффициентов.

Сначала выполним следующее преобразование:

[math]\begin{array}{l}\int {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} \cdot dx} = \int {\frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} \cdot dx}}{1}} _{\left[ \times \right]\sqrt{4{x^2} - 2x + 1} }^{\left[ \times \right]\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} } = \int {\frac{{4{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1}}}} \cdot dx.\\\\\int {\frac{{4{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} }}} \cdot dx = \left( {Ax + B} \right)\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} +C\cdot\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} }}} ,\;\;\left( * \right)\end{array}\][/math]

Затем обе части равенства (*) нужно продифференцировать по переменной x. Так вы сможете избавиться от интегралов. Далее избавьтесь от квадратных корней и дробей (этого можно достичь умножением обеих частей равенства на знаменатель).
В результате получится равенство двух многочленов. Приравняйте их соответствующие коэффициенты и из получившейся системы линейных уравнений определите неизвестные коэффициенты [math]A, B, C[/math].

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/