| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Неопределенный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=16024 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | zhur1n [ 08 апр 2012, 20:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Неопределенный интеграл |
[math]\begin{gathered} \int {{e^{\sqrt x }}} dx \hfill \\\int {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} dx} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Помогите посчитать пожалуйста |
|
| Автор: | Avgust [ 08 апр 2012, 21:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
Первый интеграл: замена [math]x=t^2, \quad dx=2tdt, \quad e^{\sqrt{x}}=e^t ,\quad[/math] далее по частям. |
|
| Автор: | Human [ 08 апр 2012, 21:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
Во втором выделить полный квадрат, ввести соответствующую замену и потом взять по частям. |
|
| Автор: | zhur1n [ 08 апр 2012, 21:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
Я так понимаю это [math]\int {udv = uv - \int {vdu} }[/math] . Тогда за [math]u[/math] брать [math]e[/math]? |
|
| Автор: | zhur1n [ 08 апр 2012, 21:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
Human писал(а): Во втором выделить полный квадрат, ввести соответствующую замену и потом взять по частям. Вы имеете ввиду [math]{(2x - 1)^2}[/math], так вроде не получается |
|
| Автор: | Human [ 08 апр 2012, 21:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
zhur1n писал(а): Я так понимаю это [math]\int {udv = uv - \int {vdu} }[/math] . Тогда за [math]u[/math] брать [math]e[/math]? Ну Вы попробуйте. Если интеграл станет сложнее, то значит нужно было делать наоборот. zhur1n писал(а): Вы имеете ввиду [math]{(2x - 1)^2}[/math], так вроде не получается Полный квадрат выделяется на основе первых двух слагаемых: [math]4x^2-2x+1=4x^2-2\cdot2x\cdot\frac12+\frac14-\frac14+1=\left(2x-\frac12\right)^2+\frac34[/math]
|
|
| Автор: | zhur1n [ 08 апр 2012, 23:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
[math]\begin{gathered}\sqrt x = t; \hfill \\dt = \frac{1}{{2\sqrt x }}dx; \hfill \\\int {{e^{\sqrt x }}} dx = 2\int {{e^t} \cdot tdt} ; \hfill \\\int {udv = uv - \int {vdu;} } \hfill \\u = t; \hfill \\v = {e^t}; \hfill \\dv = {e^t}dt; \hfill \\du = dt; \hfill \\\int {t \cdot {e^t}} \cdot dt = t \cdot {e^t} - \int {{e^t}} \cdot dt; \hfill \\2{e^t} \cdot t - 2{e^t} + const = 2{e^{\sqrt x }} \cdot \sqrt x - 2{e^{\sqrt x }} + const = 2{e^{\sqrt x }}(\sqrt x - 1) + const \hfill \\ \end{gathered}[/math] Посмотрите пожалуйста, правильно ли я проинтегрировал по частям? |
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 09 апр 2012, 00:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
Первый интеграл вычислили правильно. |
|
| Автор: | zhur1n [ 09 апр 2012, 00:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
Помогите плз со вторым, не клеется ...
|
|
| Автор: | Uncle Fedor [ 09 апр 2012, 00:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Неопределенный интеграл |
Есть несколько способов вычисления второго интеграла. Один из них - метод неопределённых коэффициентов. Сначала выполним следующее преобразование: [math]\begin{array}{l}\int {\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} \cdot dx} = \int {\frac{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} \cdot dx}}{1}} _{\left[ \times \right]\sqrt{4{x^2} - 2x + 1} }^{\left[ \times \right]\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} } = \int {\frac{{4{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1}}}} \cdot dx.\\\\\int {\frac{{4{x^2} - 2x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} }}} \cdot dx = \left( {Ax + B} \right)\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} +C\cdot\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {4{x^2} - 2x + 1} }}} ,\;\;\left( * \right)\end{array}\][/math] Затем обе части равенства (*) нужно продифференцировать по переменной x. Так вы сможете избавиться от интегралов. Далее избавьтесь от квадратных корней и дробей (этого можно достичь умножением обеих частей равенства на знаменатель). В результате получится равенство двух многочленов. Приравняйте их соответствующие коэффициенты и из получившейся системы линейных уравнений определите неизвестные коэффициенты [math]A, B, C[/math]. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|