Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объем тела, ограниченного поверхностью
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15984
Страница 1 из 1

Автор:  Merhaba [ 07 апр 2012, 14:05 ]
Заголовок сообщения:  Объем тела, ограниченного поверхностью

Добрый День!!! :) Помогите Пожалуйста вычислить объём тела, ограниченного поверхностью:

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^4}{c^4}=1[/math]

Автор:  Alexdemath [ 07 апр 2012, 16:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностью

Используйте обобщённые полярные координаты

[math]\begin{aligned}T&= \left\{(x,y,z) \in\mathbb{R}^3\colon\, \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \leqslant 1,\, - \sqrt[4]{{1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}}} \leqslant z \leqslant \sqrt[4]{{1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}}}\right\}\\[5pt] V&= \iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1}dxdy \int\limits_{-\sqrt[4]{1-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}}^{\sqrt[4]{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}}\,dz= 2\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1}\sqrt[4]{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}\,dxdy=\\[2pt] &= \left\{ \begin{gathered}x = ar\cos \varphi , \hfill \\y = br\sin \varphi , \hfill \\|J| = abr \hfill \\ \end{gathered} \right\} = 2ab\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^1 r\sqrt[4]{1-r^2}\,dr=\ldots = \frac{{8\pi }}{5}ab\end{aligned}[/math]

Автор:  Merhaba [ 07 апр 2012, 17:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностью

Alexdemath
а [math]c[/math] куда делось?

Автор:  Alexdemath [ 07 апр 2012, 23:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностью

Вот [math]c[/math]

[math]\begin{aligned}T&= \left\{(x,y,z) \in\mathbb{R}^3\colon\, \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \leqslant 1,\, - c\sqrt[4]{{1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}}} \leqslant z \leqslant c\sqrt[4]{{1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}}}\right\}\\[5pt] V&= \iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1}dxdy \int\limits_{-c\sqrt[4]{1-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}}^{c\sqrt[4]{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}}\,dz= 2c\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1}\sqrt[4]{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}\,dxdy=\\[2pt] &= \left\{ \begin{gathered}x = ar\cos \varphi , \hfill \\y = br\sin \varphi , \hfill \\|J| = abr \hfill \\ \end{gathered} \right\} = 2abc\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^1 r\sqrt[4]{1-r^2}\,dr=\ldots = \frac{{8\pi }}{5}abc\end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/