Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Объем тела, ограниченного поверхностью
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 14:05 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Добрый День!!! :) Помогите Пожалуйста вычислить объём тела, ограниченного поверхностью:

[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^4}{c^4}=1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела, ограниченного поверхностью
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 16:34 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используйте обобщённые полярные координаты

[math]\begin{aligned}T&= \left\{(x,y,z) \in\mathbb{R}^3\colon\, \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \leqslant 1,\, - \sqrt[4]{{1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}}} \leqslant z \leqslant \sqrt[4]{{1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}}}\right\}\\[5pt] V&= \iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1}dxdy \int\limits_{-\sqrt[4]{1-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}}^{\sqrt[4]{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}}\,dz= 2\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1}\sqrt[4]{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}\,dxdy=\\[2pt] &= \left\{ \begin{gathered}x = ar\cos \varphi , \hfill \\y = br\sin \varphi , \hfill \\|J| = abr \hfill \\ \end{gathered} \right\} = 2ab\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^1 r\sqrt[4]{1-r^2}\,dr=\ldots = \frac{{8\pi }}{5}ab\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Merhaba
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела, ограниченного поверхностью
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 17:36 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
20 апр 2011, 20:15
Сообщений: 462
Cпасибо сказано: 212
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
а [math]c[/math] куда делось?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела, ограниченного поверхностью
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 23:44 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот [math]c[/math]

[math]\begin{aligned}T&= \left\{(x,y,z) \in\mathbb{R}^3\colon\, \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \leqslant 1,\, - c\sqrt[4]{{1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}}} \leqslant z \leqslant c\sqrt[4]{{1 - \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}}}\right\}\\[5pt] V&= \iiint\limits_{T}dxdydz= \iint\limits_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1}dxdy \int\limits_{-c\sqrt[4]{1-\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}}^{c\sqrt[4]{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}}\,dz= 2c\iint\limits_{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1}\sqrt[4]{1 - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}}\,dxdy=\\[2pt] &= \left\{ \begin{gathered}x = ar\cos \varphi , \hfill \\y = br\sin \varphi , \hfill \\|J| = abr \hfill \\ \end{gathered} \right\} = 2abc\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^1 r\sqrt[4]{1-r^2}\,dr=\ldots = \frac{{8\pi }}{5}abc\end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Merhaba
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти объём тела, ограниченного поверхностью

в форуме Интегральное исчисление

CJIOHUK

2

422

13 мар 2020, 01:58

Объём тела под поверхностью

в форуме Интегральное исчисление

Melissaa

18

840

12 мар 2016, 14:59

Объём тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Rollick

12

420

19 апр 2021, 14:48

Объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

apdodog

3

386

29 май 2015, 08:17

Объем тела, ограниченного повехностями

в форуме Интегральное исчисление

defernator666

1

327

05 апр 2015, 17:22

Объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

DonilZ

45

1739

29 июн 2016, 23:48

Объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Gerren

2

208

06 июн 2019, 20:30

Объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

3

274

02 окт 2017, 15:02

Объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

nata583

1

487

25 май 2017, 13:06

Объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Ariukeera

1

342

23 май 2017, 21:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved