Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Площадь фигуры, заданной параметрически
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15976
Страница 1 из 1

Автор:  doomer74 [ 07 апр 2012, 06:21 ]
Заголовок сообщения:  Площадь фигуры, заданной параметрически

Помогите, пожалуйста, с решением.
[math]x=8*(cost)^3[/math]
[math]y=4*(sint)^3[/math]
[math]x=3*sqrt(3)[/math], [math]x>=3*sqrt(3)[/math]

Как я понял, надо вычислить площадь кусочка астроиды. Вот график, построенный в вольфраме: http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% ... int%29%5E3
Также я прикрепляю фото, где я начал решение. Проблема в том, что я опять же не знаю, как решить интеграл.
Надеюсь на вашу помощь.

Автор:  Avgust [ 07 апр 2012, 11:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, заданной параметрически

Если идти самым сложным путем, то так:

[math]S=2 \int \limits_{3\sqrt{3}}^8 \frac{1}{2} \bigg ( 4-x^{2/3}\bigg )^{3/2}dx = 12 arcsin \bigg (\frac{1}{2}x^{1/3} \bigg )-\frac{1}{2}\bigg (4-x^{2/3} \bigg )^{1/2}\bigg (x^{5/3} -7x+6x^{1/3}\bigg ) \bigg |_{3\sqrt{3}}^{8}= 2 \pi - 3\sqrt{3} \approx 1.087[/math]

Автор:  doomer74 [ 07 апр 2012, 12:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, заданной параметрически

можете, пожалуйста, пояснить, как ввы нашли интеграл, особкнно его пределы? в таком случае мой рисунок не подходит? об

Автор:  Prokop [ 07 апр 2012, 13:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, заданной параметрически

[math]S =2\int\limits_{3\sqrt 3 }^8 {ydx}= \left\{ {\begin{array}{*{20}c}{x= 8\cos ^3 t} \\{y = 4\sin ^3 t}\\ \end{array} } \right\} = 192\int\limits_0^{\pi /6} {\sin ^4 t\cos ^2 tdt} = 24\int\limits_0^{\pi /6} {\left( {1 - \cos 2t} \right)^2 \left( {1 + \cos 2t} \right)dt} = \ldots[/math]

Автор:  Avgust [ 07 апр 2012, 13:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, заданной параметрически

Я воспользовался Вашим листочком: там пределы вычислены. три корней из трех и 8
Что касается подинтегральной функции, то это известная формула для астроиды в декартовой системе координат. Ну а уж интеграл этот, по-моему, должен первокурсник уметь брать.

Люблю упражняться с интегралами. Например, еще более общий случай получил:

[math]\int (a-x^{2/3})^{3/2}dx=\frac{3a^3}{16} arctg \bigg ( \frac{x^{1/3}}{\sqrt{a-x^{2/3}}}\bigg )+\frac{\sqrt{a-x^{2/3}}}{16}(14ax-3a^2x^{1/3}-8x^{5/3})+C[/math]

Можете и этой формулой воспользоваться.

Автор:  doomer74 [ 07 апр 2012, 16:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, заданной параметрически

а пределы интегрирования на листочке я неверно нашел (решая неравенство)? я окончательно запутался :( распишите, пожалуйста, подробно Ваше решение.
а если я хочу проинтегрировать по формуле интеграл от t1 до t2 от (y(t) * x'(t)), то как мне сделать?

Автор:  Avgust [ 07 апр 2012, 17:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, заданной параметрически

Как это неверно, если у Вас в условии записано, что x больше-равно три корня из трех?
А восьмерка получается из свойства уравнения. При x>8 - комплексная область.

Автор:  doomer74 [ 08 апр 2012, 11:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, заданной параметрически

Avgust писал(а):
Если идти самым сложным путем, то так:

[math]S=2 \int \limits_{3\sqrt{3}}^8 \frac{1}{2} \bigg ( 4-x^{2/3}\bigg )^{3/2}dx = 12 arcsin \bigg (\frac{1}{2}x^{1/3} \bigg )-\frac{1}{2}\bigg (4-x^{2/3} \bigg )^{1/2}\bigg (x^{5/3} -7x+6x^{1/3}\bigg ) \bigg |_{3\sqrt{3}}^{8}= 2 \pi - 3\sqrt{3} \approx 1.087[/math]


Тогда у меня есть ещё несколько вопросов. Почему перед интегралом стоит коэффициент 2 ? По пределы интегрирования я вроде понял.
Насчет подыинтегрального выражения. Вы вместо параметрической формы записи использовали уравнение в декартовых прямоугольных координатах? [math]x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}[/math]
В таком случае можете, пожалуйста, объяснить, как пришли к такому выражению ( я имею в виду, почему получилось так:[math](1/2)*( 4-x^{2/3})^{3/2}[/math]? Какая формула была использована?

Автор:  doomer74 [ 09 апр 2012, 14:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Площадь фигуры, заданной параметрически

Поднимаю тему. Ответьте, пожалуйста, на предыдущее сообщение.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/