Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15957
Страница 1 из 1

Автор:  BlackShtorm [ 06 апр 2012, 15:07 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

НЕ представляю даже с чего начать. Подскажите пожалуйста.

Автор:  MihailM [ 06 апр 2012, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

что за тело-то?

Автор:  Alexdemath [ 07 апр 2012, 14:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

BlackShtorm, данное тело ограничено сверху плоскостью [math]z=20[/math], снизу конической поверхность [math]z=10\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} + 1}[/math].

Для начала найдите проекцию пересечения поверхностей на плоскость [math]Oxy[/math]

[math]\left\{\begin{gathered}\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} - \frac{{{z^2}}}{{100}} = - 1, \hfill \\z = 20, \hfill \\ \end{gathered} \right. ~~\Rightarrow~~ \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} - \frac{{{{20}^2}}}{{100}} = - 1 ~~\Leftrightarrow~~ \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 3[/math]

Следовательно, проекцией тела на координатную плоскость [math]Oxy[/math] является внутренность эллипса [math]\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 3[/math] с центром в начале координат и полуосями [math]a=5[/math] и [math]b=3[/math].

Теперь запишите область интегрирования в виде неравенств и перейдите в цилиндрические координаты:

[math]\begin{aligned}T&= \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\colon\, \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} \leqslant 3,~10\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} + 1} \leqslant z \leqslant 20\right\} \\ &x = 5r\cos \varphi,\quad y = 3r\sin \varphi,\quad z=z,\quad |J| = 5 \cdot 3r = 15r \\ T^{\ast}&= \left\{(r,\varphi ,z) \in\mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant r \leqslant \sqrt 3 ,~0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~10\sqrt{r^2+1}\leqslant z\leqslant 20\right\} \end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}V&=\iiint\limits_{T}dx\,dy\,dz= \iiint\limits_{T^{\ast}}|J|dr\,d\varphi\,dz= 15\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt3}r\,dr \int\limits_{10\sqrt{r^2+1} }^{20}dz=\\ &= 15\int\limits_0^{2\pi }d\varphi \int\limits_0^{\sqrt3}r\Bigl(20-10\sqrt{r^2+1}\Bigr)dr= 300\pi \int\limits_0^{\sqrt 3 }\ZBigl(2r-r\sqrt{r^2+1}\Bigr)dr= \ldots = 200\pi \end{aligned}[/math]

Автор:  BlackShtorm [ 08 апр 2012, 08:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Alexdemath Спасибо за полное объяснение :)

Автор:  Human [ 08 апр 2012, 15:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Alexdemath

Только это не конус, а гиперболоид.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/