Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 06 апр 2012, 15:07 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
04 окт 2011, 16:51
Сообщений: 128
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
НЕ представляю даже с чего начать. Подскажите пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 06 апр 2012, 22:27 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
12 сен 2010, 12:46
Сообщений: 6803
Cпасибо сказано: 187
Спасибо получено:
1142 раз в 1070 сообщениях
Очков репутации: 65

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
что за тело-то?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 07 апр 2012, 14:27 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
BlackShtorm, данное тело ограничено сверху плоскостью [math]z=20[/math], снизу конической поверхность [math]z=10\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} + 1}[/math].

Для начала найдите проекцию пересечения поверхностей на плоскость [math]Oxy[/math]

[math]\left\{\begin{gathered}\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} - \frac{{{z^2}}}{{100}} = - 1, \hfill \\z = 20, \hfill \\ \end{gathered} \right. ~~\Rightarrow~~ \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} - \frac{{{{20}^2}}}{{100}} = - 1 ~~\Leftrightarrow~~ \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 3[/math]

Следовательно, проекцией тела на координатную плоскость [math]Oxy[/math] является внутренность эллипса [math]\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 3[/math] с центром в начале координат и полуосями [math]a=5[/math] и [math]b=3[/math].

Теперь запишите область интегрирования в виде неравенств и перейдите в цилиндрические координаты:

[math]\begin{aligned}T&= \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\colon\, \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} \leqslant 3,~10\sqrt {\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} + 1} \leqslant z \leqslant 20\right\} \\ &x = 5r\cos \varphi,\quad y = 3r\sin \varphi,\quad z=z,\quad |J| = 5 \cdot 3r = 15r \\ T^{\ast}&= \left\{(r,\varphi ,z) \in\mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant r \leqslant \sqrt 3 ,~0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi ,~10\sqrt{r^2+1}\leqslant z\leqslant 20\right\} \end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned}V&=\iiint\limits_{T}dx\,dy\,dz= \iiint\limits_{T^{\ast}}|J|dr\,d\varphi\,dz= 15\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt3}r\,dr \int\limits_{10\sqrt{r^2+1} }^{20}dz=\\ &= 15\int\limits_0^{2\pi }d\varphi \int\limits_0^{\sqrt3}r\Bigl(20-10\sqrt{r^2+1}\Bigr)dr= 300\pi \int\limits_0^{\sqrt 3 }\ZBigl(2r-r\sqrt{r^2+1}\Bigr)dr= \ldots = 200\pi \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
BlackShtorm, mad_math, Uncle Fedor
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 08 апр 2012, 08:57 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
04 окт 2011, 16:51
Сообщений: 128
Cпасибо сказано: 58
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath Спасибо за полное объяснение :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 08 апр 2012, 15:28 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath

Только это не конус, а гиперболоид.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, BlackShtorm
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Ruta

5

555

30 окт 2015, 17:00

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Eli

6

449

14 янв 2018, 23:22

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

goffa

1

171

09 май 2020, 08:52

Вычислить объем тела V, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Cartel

2

620

31 окт 2018, 10:28

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Tuxedomask

9

407

15 окт 2017, 15:51

Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

LaZStoner

1

726

26 ноя 2015, 23:45

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

irenaterra16

3

229

10 авг 2020, 13:50

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

351w

5

360

15 апр 2019, 22:57

Вычислить объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

nanaHIN00

21

515

22 апр 2019, 18:32

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

st1m900

3

734

28 окт 2016, 21:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved