Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить объёмчик
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15944
Страница 1 из 1

Автор:  EEEVVVA [ 05 апр 2012, 19:07 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить объёмчик

Подскажите с решением задачи:
Вычислить объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями:
Изображение

Правильно или нет я нахожу объём:

Изображение

Ой,извините,не то вставила: вот так:Изображение
Ответ: V=Pi-24
Правильно?

Подскажите, пожалуйста. кто знает!

Автор:  Alexdemath [ 08 апр 2012, 15:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объёмчик

EEEVVVA, сначала преобразуйте уравнение цилиндра к каноническому виду

[math]{x^2} + {y^2} = 2\sqrt 2 y~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + {y^2} - 2\sqrt 2 y + 2 = 2~~ \Leftrightarrow~~ {x^2} + {(y - \sqrt 2 )^2} = {(\sqrt 2 )^2}[/math]

Следовательно, проекцией тела на координатную плоскость [math]Oxy[/math] является круг радиуса [math]\sqrt{2}[/math] с центром в точке [math](0;\sqrt{2})[/math].

Теперь запишите множество точек, ограниченных данными поверхностями, в виде неравенств и перейдите в цилиндрическую систему координат:

[math]T = \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3\colon\, {x^2} + {{(y - \sqrt 2 )}^2} \leqslant {{(\sqrt 2 )}^2},~0 \leqslant z \leqslant 16 - {x^2} - {y^2}\right\}[/math]

[math]\left\{ \begin{gathered}x = r\cos \varphi , \hfill \\ y - \sqrt 2 = r\sin \varphi , \hfill \\z = z, \hfill \\ \end{gathered} \right.~~\Rightarrow~~ |J| = r[/math]

[math]\begin{aligned}z&= 16 - {x^2} - {y^2} = 16 - {r^2}{\cos ^2}\varphi - {(\sqrt 2 + r\sin \varphi )^2} = \\ &= 16 - {r^2}{\cos ^2}\varphi - (2 - 2\sqrt 2 r\sin \varphi + {r^2}{\sin ^2}\varphi ) = 14 + 2\sqrt 2 r\sin \varphi - {r^2} \end{aligned}[/math]

[math]T^{\ast}= \left\{(r,\varphi,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0\leqslant r\leqslant\sqrt2,~0 \leqslant\varphi\leqslant2\pi,~0 \leqslant z \leqslant 14 + 2\sqrt 2 r\sin \varphi-r^2 \right\}[/math]

[math]\begin{aligned}V&= \iiint\limits_{T} dx\,dy\,dz= \iiint\limits_{T^{\ast}}|J|\,dr\,d\varphi\,dz= \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt 2 } {rdr} \int\limits_0^{14 + 2\sqrt 2 r\sin \varphi - {r^2}}dz=\\ &= \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^{\sqrt 2 }\Bigl(14r + 2\sqrt 2 r^2\sin \varphi-r^3\Bigr)dr= \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \left. {\left( {7{r^2} + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}{r^3}\sin \varphi - \frac{{{r^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{\sqrt2}=\\ &= \int\limits_0^{2\pi }\!\left(7 \cdot 2 + \frac{2\sqrt 2}{3}{{(\sqrt 2 )}^3}\sin \varphi - \frac{4}{4}\right)\!d\varphi= \int\limits_0^{2\pi } {\left( {13 + \frac{8}{3}\sin \varphi } \right)\!d\varphi=\\ &= \left. {\left( {13\varphi - \frac{8}{3}\cos \varphi } \right)}\right|_0^{2\pi } = 26\pi - \frac{8}{3} - \left( {0 - \frac{8}{3}} \right) = 26\pi \end{aligned}[/math]

Автор:  EEEVVVA [ 08 апр 2012, 16:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объёмчик

Я делала по аналогии вот с этим заданием: http://www.kvadromir.com/kuznec/kratn/11.22.jpg
Разве я не так взяла интеграл?

Изображение

И почему когда Вы открываете квадрат (z=.....) получается: (2 - 2sqrt(2)rsin(ф)+r^2sin(ф)^2), разве должно быть не так: (2 + 2sqrt(2)rsin(ф)+r^2sin(ф)^2) ?

Автор:  Alexdemath [ 09 апр 2012, 00:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объёмчик

EEEVVVA писал(а):
И почему когда Вы открываете квадрат (z=.....) получается: (2 - 2sqrt(2)rsin(ф)+r^2sin(ф)^2), разве должно быть не так: (2 + 2sqrt(2)rsin(ф)+r^2sin(ф)^2) ?

Вы правы, конечно же. Опечатка :oops:

Пересчитайте, ответ должен получится такой же.

Автор:  EEEVVVA [ 09 апр 2012, 01:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить объёмчик

Хорошо)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/