Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Хитрый Интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15887
Страница 1 из 2

Автор:  Nice [ 03 апр 2012, 22:10 ]
Заголовок сообщения:  Хитрый Интеграл

Добрый вечер, помогите пожалуйста решить интеграл, я уже голову сломал, не получается(

Вложения:
Комментарий к файлу: 1958 задача из демидовича
.jpg
.jpg [ 9.53 Кб | Просмотров: 442 ]

Автор:  andrei [ 03 апр 2012, 22:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

Сделайте замену [math]x=tg(y)[/math]

Автор:  AV_77 [ 03 апр 2012, 22:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

Можно подстановкой Эйлера воспользоваться: [math]\sqrt{x^2+1} = x + t[/math].

Автор:  Nice [ 03 апр 2012, 22:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

Простите, не то условие скопировал(они похожи)
Изображение

Автор:  AV_77 [ 03 апр 2012, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

Можно попробовать [math]\sqrt{x^2-1} = x + t[/math]. Только вычисления, наверное, достаточно сложные будут... но зато будет интеграл рациональной функции.

Автор:  Nice [ 03 апр 2012, 23:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

Может быть еще как-то можно?
Я не понимаю как заменять

Автор:  Human [ 03 апр 2012, 23:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

По-простому тут точно никак. Попробуйте ещё замену [math]x=\frac12\left(t+\frac1t\right)[/math]. Тогда корень уйдёт:
[math]\sqrt{x^2-1}=\frac12\left(t-\frac1t\right).[/math]

Автор:  Alexdemath [ 03 апр 2012, 23:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

Я бы так рационализировал интеграл

[math]\begin{aligned}\int {\frac{{dx}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} - 1} }}}&= \int {\frac{{{x^{ - 3}}dx}}{{(1 + {x^{ - 2}})\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} }}} = \left\{ \begin{gathered}\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} = t, \hfill \\ 1 + {x^{ - 2}} = 2 - {t^2}, \hfill \\ x^{-3}\,dx = t\,dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{2 - {t^2}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right| + C = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} + \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} - \sqrt 2 }}} \right| + C = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - \sqrt 2 x}}} \right| + C \end{aligned}[/math]

Автор:  Avgust [ 04 апр 2012, 03:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

Еще проще замена
[math]x=\frac{1}{\cos(t)}[/math]

Автор:  Nice [ 04 апр 2012, 12:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Хитрый Интеграл

Alexdemath писал(а):
Я бы так рационализировал интеграл

[math]\begin{aligned}\int {\frac{{dx}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} - 1} }}}&= \int {\frac{{{x^{ - 3}}dx}}{{(1 + {x^{ - 2}})\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} }}} = \left\{ \begin{gathered}\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} = t, \hfill \\ 1 + {x^{ - 2}} = 2 - {t^2}, \hfill \\ x^{-3}\,dx = t\,dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{2 - {t^2}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right| + C = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} + \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} - \sqrt 2 }}} \right| + C = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - \sqrt 2 x}}} \right| + C \end{aligned}[/math]



Спасибо!)Я теперь понял, как подобные интегралы решаются)

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/