| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Хитрый Интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15887 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Nice [ 03 апр 2012, 22:10 ] | ||
| Заголовок сообщения: | Хитрый Интеграл | ||
Добрый вечер, помогите пожалуйста решить интеграл, я уже голову сломал, не получается(
|
|||
| Автор: | andrei [ 03 апр 2012, 22:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
Сделайте замену [math]x=tg(y)[/math] |
|
| Автор: | AV_77 [ 03 апр 2012, 22:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
Можно подстановкой Эйлера воспользоваться: [math]\sqrt{x^2+1} = x + t[/math]. |
|
| Автор: | Nice [ 03 апр 2012, 22:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
Простите, не то условие скопировал(они похожи) |
|
| Автор: | AV_77 [ 03 апр 2012, 22:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
Можно попробовать [math]\sqrt{x^2-1} = x + t[/math]. Только вычисления, наверное, достаточно сложные будут... но зато будет интеграл рациональной функции. |
|
| Автор: | Nice [ 03 апр 2012, 23:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
Может быть еще как-то можно? Я не понимаю как заменять |
|
| Автор: | Human [ 03 апр 2012, 23:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
По-простому тут точно никак. Попробуйте ещё замену [math]x=\frac12\left(t+\frac1t\right)[/math]. Тогда корень уйдёт: [math]\sqrt{x^2-1}=\frac12\left(t-\frac1t\right).[/math]
|
|
| Автор: | Alexdemath [ 03 апр 2012, 23:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
Я бы так рационализировал интеграл [math]\begin{aligned}\int {\frac{{dx}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} - 1} }}}&= \int {\frac{{{x^{ - 3}}dx}}{{(1 + {x^{ - 2}})\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} }}} = \left\{ \begin{gathered}\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} = t, \hfill \\ 1 + {x^{ - 2}} = 2 - {t^2}, \hfill \\ x^{-3}\,dx = t\,dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{2 - {t^2}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right| + C = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} + \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} - \sqrt 2 }}} \right| + C = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - \sqrt 2 x}}} \right| + C \end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Avgust [ 04 апр 2012, 03:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
Еще проще замена [math]x=\frac{1}{\cos(t)}[/math] |
|
| Автор: | Nice [ 04 апр 2012, 12:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Хитрый Интеграл |
Alexdemath писал(а): Я бы так рационализировал интеграл [math]\begin{aligned}\int {\frac{{dx}}{{({x^2} + 1)\sqrt {{x^2} - 1} }}}&= \int {\frac{{{x^{ - 3}}dx}}{{(1 + {x^{ - 2}})\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} }}} = \left\{ \begin{gathered}\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} = t, \hfill \\ 1 + {x^{ - 2}} = 2 - {t^2}, \hfill \\ x^{-3}\,dx = t\,dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {\frac{{dt}}{{2 - {t^2}}}} = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{t + \sqrt 2 }}{{t - \sqrt 2 }}} \right| + C = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} + \sqrt 2 }}{{\sqrt {1 - {x^{ - 2}}} - \sqrt 2 }}} \right| + C = \\ &= \frac{{\sqrt 2 }}{4}\ln \left| {\frac{{\sqrt {{x^2} - 1} + \sqrt 2 x}}{{\sqrt {{x^2} - 1} - \sqrt 2 x}}} \right| + C \end{aligned}[/math] Спасибо!)Я теперь понял, как подобные интегралы решаются) |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|