Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Нужна помощь
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15810
Страница 1 из 1

Автор:  EEEVVVA [ 01 апр 2012, 15:11 ]
Заголовок сообщения:  Нужна помощь

Помогите найти определённый интеграл:
Интеграл(от 0 до П/4)(cos(x)/(((cos(x))^3)+(sin(x))^3))

Автор:  Alexdemath [ 01 апр 2012, 17:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нужна помощь

Нужно так

[math]\int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x}}\,dx} = \int\limits_0^{\pi /4} {\frac{1}{{1 + {{\operatorname{tg} }^3}x}}\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \left\{ \begin{gathered} \operatorname{tg} x = t, \hfill \\\frac{dx}{\cos^2x} = dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int\limits_0^1 \frac{dt}{1+t^3}[/math]

Теперь разложите подынтегральную дробь с помощью метода неопределённых коэффициентов на сумму более элементарных дробей. Должны получить

[math]\begin{aligned}\frac{1}{{1 + {t^3}}} &= \frac{1}{{(t + 1)({t^2} - t + 1)}} = \ldots = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{3}\frac{{t - 2}}{{{t^2} - t + 1}} = \\ & = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{6}\frac{{2t - 1 - 3}}{{{t^2} - t + 1}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{6}\frac{{2t - 1}}{{{t^2} - t + 1}} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2} - t + 1}} \end{aligned}[/math]

Преобразуем последнюю дробь:

[math]\frac{1}{{{t^2} - t + 1}} = \frac{4}{{4{t^2} - 4t + 1 + 3}} = \frac{4}{{{{(2t - 1)}^2} + 3}} = \frac{4}{3}\frac{1}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}[/math]

Итак, имеем

[math]\begin{aligned}\int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x}}\,dx}&= \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^3}}}} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t + 1}}} - \frac{1}{6}\int\limits_0^1 {\frac{{2t - 1}}{{{t^2} - t + 1}}dt} + \frac{2}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}} = \\ &= \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{d(t + 1)}}{{t + 1}}} - \frac{1}{6}\int\limits_0^1 {\frac{{d({t^2} - t + 1)}}{{{t^2} - t + 1}}} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}} = \\ & = \left. {\left( {\frac{1}{3}\ln |t + 1| - \frac{1}{6}\ln |{t^2} - t + 1| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right|_0^1 = \\ &= \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\ln 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \left( {\frac{1}{3}\ln 1 - \frac{1}{6}\ln 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right) = \\ &= \frac{1}{3}\ln 2 - 0 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \left(\frac{1}{3}\cdot0 - \frac{1}{6}\cdot0 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \\ & = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{\pi }{6} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{9}\pi \end{aligned}[/math]

Автор:  EEEVVVA [ 01 апр 2012, 18:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нужна помощь

Огромное Вам спасибо. Очень помогли)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/