Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нужна помощь
СообщениеДобавлено: 01 апр 2012, 15:11 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
22 янв 2012, 12:44
Сообщений: 611
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите найти определённый интеграл:
Интеграл(от 0 до П/4)(cos(x)/(((cos(x))^3)+(sin(x))^3))

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нужна помощь
СообщениеДобавлено: 01 апр 2012, 17:46 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно так

[math]\int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x}}\,dx} = \int\limits_0^{\pi /4} {\frac{1}{{1 + {{\operatorname{tg} }^3}x}}\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} = \left\{ \begin{gathered} \operatorname{tg} x = t, \hfill \\\frac{dx}{\cos^2x} = dt \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int\limits_0^1 \frac{dt}{1+t^3}[/math]

Теперь разложите подынтегральную дробь с помощью метода неопределённых коэффициентов на сумму более элементарных дробей. Должны получить

[math]\begin{aligned}\frac{1}{{1 + {t^3}}} &= \frac{1}{{(t + 1)({t^2} - t + 1)}} = \ldots = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{3}\frac{{t - 2}}{{{t^2} - t + 1}} = \\ & = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{6}\frac{{2t - 1 - 3}}{{{t^2} - t + 1}} = \frac{1}{3}\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{6}\frac{{2t - 1}}{{{t^2} - t + 1}} + \frac{1}{2}\frac{1}{{{t^2} - t + 1}} \end{aligned}[/math]

Преобразуем последнюю дробь:

[math]\frac{1}{{{t^2} - t + 1}} = \frac{4}{{4{t^2} - 4t + 1 + 3}} = \frac{4}{{{{(2t - 1)}^2} + 3}} = \frac{4}{3}\frac{1}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}[/math]

Итак, имеем

[math]\begin{aligned}\int\limits_0^{\pi /4} {\frac{{\cos x}}{{{{\cos }^3}x + {{\sin }^3}x}}\,dx}&= \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + {t^3}}}} = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{t + 1}}} - \frac{1}{6}\int\limits_0^1 {\frac{{2t - 1}}{{{t^2} - t + 1}}dt} + \frac{2}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}} = \\ &= \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {\frac{{d(t + 1)}}{{t + 1}}} - \frac{1}{6}\int\limits_0^1 {\frac{{d({t^2} - t + 1)}}{{{t^2} - t + 1}}} + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\int\limits_0^1 {\frac{{d\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + 1}}} = \\ & = \left. {\left( {\frac{1}{3}\ln |t + 1| - \frac{1}{6}\ln |{t^2} - t + 1| + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{{2t - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right)} \right|_0^1 = \\ &= \frac{1}{3}\ln 2 - \frac{1}{6}\ln 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \left( {\frac{1}{3}\ln 1 - \frac{1}{6}\ln 1 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }}} \right) = \\ &= \frac{1}{3}\ln 2 - 0 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \left(\frac{1}{3}\cdot0 - \frac{1}{6}\cdot0 - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \\ & = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\operatorname{arctg} \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{2}{{\sqrt 3 }}\frac{\pi }{6} = \frac{1}{3}\ln 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{9}\pi \end{aligned}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
EEEVVVA
 Заголовок сообщения: Re: Нужна помощь
СообщениеДобавлено: 01 апр 2012, 18:15 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
22 янв 2012, 12:44
Сообщений: 611
Cпасибо сказано: 42
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Огромное Вам спасибо. Очень помогли)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 3 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Зачем нужна перепись населения?

в форуме Размышления по поводу и без

O Micron

22

503

08 ноя 2021, 15:40

Нужна идея для доказательства одного утверждения

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Lozidaria

3

336

14 дек 2014, 22:14

Помощь

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

tasya

2

623

26 апр 2016, 15:16

Помощь

в форуме Алгебра

bakriwa5

3

91

14 ноя 2024, 14:28

Помощь

в форуме Тригонометрия

negss

2

164

05 авг 2024, 15:58

Помощь

в форуме Алгебра

hh336hh

1

367

04 апр 2015, 09:27

ПОМОЩЬ

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

fantomer

3

515

02 дек 2022, 02:16

ПОМОЩЬ

в форуме Алгебра

satvichit2

2

232

19 мар 2024, 08:55

помощь

в форуме Размышления по поводу и без

root66

0

263

26 июл 2019, 07:00

Помощь

в форуме Алгебра

Bastun

1

195

10 июн 2022, 04:46


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved