Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Застрял на двойном интеграле
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15798
Страница 1 из 1

Автор:  arreke [ 01 апр 2012, 07:56 ]
Заголовок сообщения:  Застрял на двойном интеграле

График - Изображение

[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {{x^2}{e^{ - {y^2}}}dxdy},{\text{ }}D:\left\{ \begin{gathered} x = 0,{\text{ }}y = 1 \hfill \\ y = x \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \iint\limits_D {{x^2}{e^{ - {y^2}}}dxdy} = \int_0^1 {{x^2}dx\int_x^1 {{e^{ - {y^2}}}dy} } \hfill \\ \int_x^1 {{e^{ - {y^2}}}dy} = ? \hfill \\ \end{gathered}[/math]

незнаю как решить такой интеграл...
вот в инете нашёл кое-что про это - http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Автор:  Yurik [ 01 апр 2012, 08:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Застрял на двойном интеграле

Попробуйте поменять пределы интегрирования.

[math]\iint\limits_D {{x^2}{e^{ - {y^2}}}dxdy} = \int_0^1 {{e^{ - {y^2}}}dy\int_0^y {{x^2}dx} } = \frac{1}{3}\int_0^1 {{y^3}{e^{ - {y^2}}}dy} = ...[/math]

Автор:  arreke [ 15 апр 2012, 04:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Застрял на двойном интеграле

Что-то никак не получается...

[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {{x^2}{e^{ - {y^2}}}dxdy = \int_0^1 {{e^{ - {y^2}}}dy\int_0^y {{x^2}dx = \frac{1}{3}\int_0^1 {{y^3}{e^{ - {y^2}}}dy} } } } \hfill \\ \frac{1}{3}\int_0^1 {\frac{{{y^3}{e^{ - {y^2}}}}}{{ - 2y{e^{ - {y^2}}}}}d\left( {{e^{ - {y^2}}}} \right)} = \frac{1}{3}\int_0^1 { - 2{y^2}d\left( {{e^{ - {y^2}}}} \right)} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  arreke [ 15 апр 2012, 05:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Застрял на двойном интеграле

кажется опять что-то усложнил...

[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {{x^2}{e^{ - {y^2}}}dxdy = \int_0^1 {{e^{ - {y^2}}}dy\int_0^y {{x^2}dx = \frac{1}{3}\int_0^1 {{y^3}{e^{ - {y^2}}}dy} } } } \hfill \\ \frac{1}{3}\int_0^1 {\frac{{{y^3}{e^{ - {y^2}}}}}{{4{y^3}}}d\left( {{y^4}} \right)} = \frac{1}{3}\int_0^1 {\frac{1}{4}{e^{ - {y^2}}}d\left( {{y^4}} \right)} = \left| {t = {y^4}} \right| \hfill \\ = \frac{1}{{12}}\int_0^1 {{e^{ - \sqrt t }}dt} = \left| {a = \sqrt t } \right| = \frac{1}{6}\int_0^1 {a{e^{ - a}}da} \hfill \\ \int {udv = uv - \int {vdu} } \hfill \\ u = a,du = 1 \hfill \\ v = - {e^{ - a}},dv = {e^{ - a}} \hfill \\ \frac{1}{6}\int_0^1 {a{e^{ - a}}da} = \frac{1}{6}\left[ { - a{e^{ - a}} + \int_0^1 {{e^{ - a}}da} } \right] = \frac{1}{6}\left[ { - a{e^{ - a}} + \int_0^1 {{e^{ - a}}da} } \right] = \hfill \\ = \frac{1}{6}\left[ { - a{e^{ - a}} - \frac{1}{e} + 1} \right] \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  --ms-- [ 15 апр 2012, 08:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Застрял на двойном интеграле

arreke писал(а):
кажется опять что-то усложнил...
[math]\frac{1}{6}\int_0^1 {a{e^{ - a}}da} = \frac{1}{6}\left[ { - a{e^{ - a}} + \int_0^1 {{e^{ - a}}da} } \right] = \frac{1}{6}\left[ { - a{e^{ - a}} + \int_0^1 {{e^{ - a}}da} } \right] = \hfill \\ = \frac{1}{6}\left[ { - a{e^{ - a}} - \frac{1}{e} + 1} \right] \ldots[/math]

Во-первых, посмотрите на свои замены. Сначала меняем [math]y^4[/math] на [math]t[/math], чтобы потом заменить [math]t[/math] на [math]a^2[/math] - можно было сразу увидеть, что в показателе экспоненты нам нужна первая степень переменной, а не корень, и сделать нужную замену за один шаг. Потом, почему переменная интегрирования осталась в ответе? Интеграл-то определённый, число должно получиться. При интегрировании по частям у слагаемого [math]u\cdot v[/math] тоже те же пределы берутся:
[math]\frac{1}{6}\int_0^1 {a{e^{ - a}}da} = \frac{1}{6}\left[ { - a{e^{ - a}} \;\; {\Biggm|}_0^1 + \ldots \right] = \ldots[/math]
После этого будет верно.

А интеграл [math]\int e^{-y^2}\, dy[/math], действительно, в элементарных функциях не берётся. Определённый интеграл от этой функции называют, как Вы верно нашли, функцией ошибок. Ваша задача - хороший пример того, как на плоскости смена порядка интегрирования иногда позволяет из неберущегося интеграла сделать вполне себе берущийся.

Автор:  Yurik [ 15 апр 2012, 09:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Застрял на двойном интеграле

Разлагается на элементарные функции.

[math]\begin{gathered} \iint\limits_D {{x^2}{e^{ - {y^2}}}dxdy} = \int_0^1 {{e^{ - {y^2}}}dy\int_0^y {{x^2}dx} } = \frac{1}{3}\int_0^1 {{y^3}{e^{ - {y^2}}}dy} = \left| \begin{gathered} t = {y^2}\,\,\, = \,\,dt = 2ydy \hfill \\ t\left( 0 \right) = 0;\,\,\,t\left( 1 \right) = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right| = \frac{1}{6}\int_0^1 {t\,{e^{ - t}}dt} = \hfill \\ = \left| \begin{gathered} u = t\,\,\, = > \,\,\,\,du = dt \hfill \\ dv = {e^{ - t}}dt\,\, = > \,\,\,v = - {e^{ - t}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \frac{1}{6}\left( { - te\left. {^{ - t}} \right|_0^1 + \int_0^1 {{e^{ - t}}dt} } \right) = \frac{1}{6}\left( { - \frac{1}{e} - e\left. {^{ - t}} \right|_0^1} \right) = \frac{1}{6}\left( { - \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1} \right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{{3e}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]



На wolframalpha.com проверил вот этот интеграл:

[math]\int_0^1 {{y^3}{e^{ - {y^2}}}dy}[/math]

Автор:  arreke [ 15 апр 2012, 10:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Застрял на двойном интеграле

с трудом получилось, спасибо за помощь

[math]\begin{gathered} \frac{1}{3}\int_0^1 {{y^3}{e^{ - {y^2}}}dy} = \left| {t = {y^2}} \right| = \frac{1}{6}\int_0^1 {t{e^{ - t}}dt} = \frac{1}{6}\left[ {\left. {\left( { - t{e^{ - t}}} \right)} \right|_0^1 + \int_0^1 {{e^{ - t}}dt} } \right] = \hfill \\ = \frac{1}{6}\left( { - \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1} \right) = \frac{1}{6} - \frac{1}{{3e}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/