Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 31 мар 2012, 13:28 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2012, 15:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите что не так.

[math][/math]

[math]\int\limits_{C}xy ds[/math], где С - четверть эллипса [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] , лежащая в первом квадранте.

Вычислить криволинейный интеграл.

Действую по формуле
[math]\int\limits_{C} f(x,y) ds = \int\limits_{a}^{b}f(x,\phi(x))\sqrt{1+(\phi'(x))^2)}dx[/math]

Выражаю y
[math]y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}[/math]
[math]y'=\frac{b}{a}\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}[/math]
[math](y')^2=\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}[/math]
[math]1+(y')^2=1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}=\frac{a^2(a^2-x^2)+b^2x^2}{a^2(a^2-x^2)}[/math]
[math]\sqrt{1+(y')^2}=\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}[/math]


[math]\int x\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math]

Какие пределы?
И так ли сделано?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 31 мар 2012, 14:49 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2012, 15:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Еще вопрос

Вычислить криволинейный интеграл
[math]\int\limits_{C}(x^2+y^2)^2 ds[/math], где С - дуга логарифмической спирали [math]r=ae^{m\phi}[/math] (m>0) от A(0;a) до О(-∞;0)

Вычислил. Все сошлось. Получилось
[math]\int\limits a^5e^{5m\phi}\sqrt{1+m^2}d\phi[/math]

Какие пределы интегрирования должны быть?

В ответе - [math]a^5\sqrt{1+m^2}\frac{1}{5m}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 31 мар 2012, 15:13 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvq писал(а):

[math]\int x\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math]

Какие пределы?
И так ли сделано?


[math]0 \leqslant x \leqslant a[/math]
Сделано верно.

vvq писал(а):
[math]\int\limits a^5e^{5m\phi}\sqrt{1+m^2}d\phi[/math]
Какие пределы интегрирования должны быть?


[math]\int\limits _{-\infty }^{0} a^5e^{5m\phi}\sqrt{1+m^2}d\phi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
vvq
 Заголовок сообщения: Re: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 31 мар 2012, 16:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2012, 15:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 31 мар 2012, 19:39 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2012, 15:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А вот такой случай как делать??

Вычислить криволинейный интеграл от выражения, являющегося полным дифференциалом

[math]\int\limits_{(\frac{1}{2};\frac{1}{2})}^{(x;y)}\frac{dx-dy}{x+y}[/math]

Как понимаю, нужно преобразовать выражение в полный дифференциал. Можно было бы взять ln(x+y), но в дроби минус, а так получается плюс...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 31 мар 2012, 21:05 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подынтегральное выражение не является полным дифференциалом, т.к.
[math]\begin{gathered} \frac{{dx - dy}}{{x + y}} = P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy \hfill \\ \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { - \frac{1}{{x + y}}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{1}{{x + y}}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} \ne \frac{{\partial P}}{{\partial y}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
vvq
 Заголовок сообщения: Re: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 31 мар 2012, 23:05 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vvq писал(а):
Подскажите что не так.

[math][/math]

[math]\int\limits_{C}xy ds[/math], где С - четверть эллипса [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] , лежащая в первом квадранте.

Вычислить криволинейный интеграл.

Действую по формуле
[math]\int\limits_{C} f(x,y) ds = \int\limits_{a}^{b}f(x,\phi(x))\sqrt{1+(\phi'(x))^2)}dx[/math]

Выражаю y
[math]y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}[/math]
[math]y'=\frac{b}{a}\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}}=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}[/math]
[math](y')^2=\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}[/math]
[math]1+(y')^2=1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}=\frac{a^2(a^2-x^2)+b^2x^2}{a^2(a^2-x^2)}[/math]
[math]\sqrt{1+(y')^2}=\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}[/math]


[math]\int x\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\frac{\sqrt{a^4-a^2x^2+b^2x^2}}{a\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math]

Какие пределы?
И так ли сделано?

Здесь лучше использовать параметрическое задание эллипса
[math]x = a\cos t[/math]
[math]y = b\sin t[/math]
[math]t \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mad_math, vvq
 Заголовок сообщения: Re: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 01 апр 2012, 11:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2012, 15:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma писал(а):
Подынтегральное выражение не является полным дифференциалом, т.к.
[math]\begin{gathered} \frac{{dx - dy}}{{x + y}} = P\left( {x,y} \right)dx + Q\left( {x,y} \right)dy \hfill \\ \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( { - \frac{1}{{x + y}}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial P}}{{\partial y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{1}{{x + y}}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} \hfill \\ \frac{{\partial Q}}{{\partial x}} \ne \frac{{\partial P}}{{\partial y}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]


ох,видимо опечатка в условии...

тогда наверное так должно быть?
[math]\frac{{dx + dy}}{{x + y}}[/math]
тогда как?
то есть выражение является полным диф-ом

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Криволинейный интеграл первого рода
СообщениеДобавлено: 01 апр 2012, 11:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2012, 15:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а, все понял)))

это будет
[math]\int\limits_{(\frac{1}{2};\frac{1}{2})}^{(x;y)}d(\ln(x+y))=ln(x+y)\biggr|_{(x,y)}^{(\frac{1}{2};\frac{1}{2})}=\ln(x+y)-\ln1=\ln(x+y)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Криволинейный интеграл первого рода

в форуме Интегральное исчисление

luci616

3

215

09 дек 2020, 15:18

Криволинейный интеграл первого рода

в форуме Интегральное исчисление

Showtime220

2

351

06 май 2018, 13:58

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

в форуме Интегральное исчисление

Linc

1

295

20 ноя 2021, 10:23

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

в форуме Интегральное исчисление

M38

16

1015

02 мар 2016, 02:52

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

в форуме Интегральное исчисление

0730574

1

189

01 ноя 2021, 22:40

Вычислить криволинейный интеграл первого рода

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Linc

0

179

20 ноя 2021, 10:21

Криволинейный интеграл 2 рода

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

4

411

04 дек 2017, 16:28

Криволинейный интеграл 1-го рода

в форуме Интегральное исчисление

fugooo

5

259

07 фев 2019, 11:17

Криволинейный интеграл 2-го рода

в форуме Интегральное исчисление

vilninho

1

470

24 дек 2014, 19:58

Криволинейный интеграл 2-го рода

в форуме Интегральное исчисление

Sykes

2

334

26 мар 2021, 14:03


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved