Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15682
Страница 1 из 1

Автор:  BrainMuscle [ 27 мар 2012, 13:23 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Исследовать на сходимость ряд

[math]\int\limits_0^{2/\pi}\frac{\sin\frac{1}{x}}{x^2}\,dx[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 27 мар 2012, 13:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряд

Замените [math]t=\frac{1}{x}[/math].
Кстати, эта штучка называется не "ряд", а "несобственный интеграл".

Автор:  BrainMuscle [ 27 мар 2012, 14:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряд

Ой, да это несобственный интеграл второго рода

[math]\int\limits_0^{2/\pi } {\frac{{\sin (\frac{1} {x})}} {{x^2 }}} dx = - \int\limits_0^{2/\pi } {\sin (\frac{1} {x})} d\frac{1} {x}[/math]

Далее

[math]f(x) = \sin (\frac{1} {x})[/math]

Необходимо рассмотреть функцию, такую g(x), чтобы [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}[/math]

Я рассмотрел функцию [math]g(x) = \frac{1}{x}[/math]

Интеграл [math]\int\limits_0^{2/\pi } {\frac{1} {x}} dx[/math] расходится, значит, если существует конечный отличный от нуля предел [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}[/math], то исходный интеграл тоже расходится

Но загвоздка в том, что [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\frac{1} {x})}} {{\frac{1} {x}}} = 0[/math]. Или всё-таки не ноль??

Автор:  BrainMuscle [ 27 мар 2012, 14:57 ]
Заголовок сообщения:  Несобственный интеграл 2-го рода

Несобственный интеграл второго рода

[math]\int\limits_0^{2/\pi } {\frac{{\sin (\frac{1} {x})}} {{x^2 }}} dx = - \int\limits_0^{2/\pi } {\sin (\frac{1} {x})} d\frac{1} {x}[/math]

Далее

[math]f(x) = \sin (\frac{1} {x})[/math]

Необходимо рассмотреть функцию, такую g(x), чтобы [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}[/math]

Я рассмотрел функцию [math]g(x) = \frac{1}{x}[/math]

Интеграл [math]\int\limits_0^{2/\pi } {\frac{1} {x}} dx[/math] расходится, значит, если существует конечный отличный от нуля предел [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}[/math], то исходный интеграл тоже расходится

Но загвоздка в том, что [math]\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin (\frac{1} {x})}} {{\frac{1} {x}}} = 0[/math]. Или всё-таки не ноль??

Автор:  arkadiikirsanov [ 27 мар 2012, 16:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл 2-го рода

Здесь нельзя использовать признаки сравнения, поскольку подинтегральная функция не знакопостоянна.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/