Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

definite integral
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15556
Страница 1 из 1

Автор:  jagdish [ 22 мар 2012, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  definite integral

[math]\int_{-2n}^{2n+\frac{1}{2}}\sin (\pi x).\{\frac{x}{2}\}dx[/math]

where [math]\{x\} =[/math] fractional part and [math]n\in \mathbb{Z}[/math]

Автор:  Prokop [ 22 мар 2012, 23:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: definite integral

We perform the change of variable [math]x = 2t[/math]. Then
[math]I = 2\int\limits_{ - n}^{n + 1/4} {\sin \left( {2\pi t} \right)\left( {t - \left\lfloor t \right\rfloor } \right)dt} = 2\sum\limits_{k = 0}^{2n - 1} {\int\limits_{ - n + k}^{ - n + k + 1} {\sin \left( {2\pi t} \right)\left( {t + n - k} \right)dt} } + 2\int\limits_n^{n + 1/4} {\sin \left( {2\pi t} \right)\left( {t - n} \right)dt}[/math]
Next [math]s = t + n - k[/math]. We obtain
[math]I = 4n\int\limits_0^1 {\sin \left( {2\pi s} \right)sds} + 2\int\limits_0^{1/4} {\sin \left( {2\pi s} \right)sds} = - \frac{{2n}}{\pi } + \frac{1}{{2\pi ^2 }}[/math]

Автор:  jagdish [ 23 мар 2012, 07:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: definite integral

If [math]\int_{-2n}^{2n+\frac{1}{2}}\{\sin (\pi x)\}.\{\frac{x}{2}\}dx[/math]

where [math]\{x\} =[/math] fractional part and [math]n\in \mathbb{Z}[/math]

Then what will be the answer

Thanks

Автор:  Prokop [ 23 мар 2012, 07:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: definite integral

If [math]\left\{ x \right\} = x - \left\lfloor x \right\rfloor[/math] then the answer is [math]I[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/