Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычисление площади части поверхности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15521
Страница 1 из 1

Автор:  vvq [ 20 мар 2012, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Вычисление площади части поверхности

Просьба помочь!

Найти площадь поверзности шара [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math], вырезанной поверхностью [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math].

Собственно опять по формуле [math]\iint\limits_{(S)}=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dx dy[/math]

[math]z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}[/math]
[math]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math]
[math]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math]
[math]\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\sqrt{\frac{a^2-x^2-y^2+x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math]



Далее, вроде бы искомая площадь - это часть шара, отрезанного цилиндром. Сверху и снизу.
Нахожу верхнюю часть, домнажая на 2.

[math]S=2\int\limits_{0}^{a}dx\int\limits_{0}^{b}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dy=2a\int\limits_{0}^{a}\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math]
Дальше ерунда((


Пробую через полярные координаты
[math]x=r\cos(\phi)[/math]
[math]y=r\sin(\phi)[/math]

[math]\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2\cos^2\phi-r^2\sin^2\phi}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}[/math]
[math]S=2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{???}\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}dr[/math]

Как найти верхний предел тогда? Это по идее образующая эллиптического цилиндра[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]...
Но если переводить это в полярные коорд получается ерунда...
А если применять полярные коорд [math]x=ar\cos(\phi)[/math], то непонятно как от них перейти к основной формуле...?
Изображение

Автор:  Shaman [ 20 мар 2012, 21:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление площади части поверхности

В полярных координатах граница интегрирования по радиусу: [math]\sqrt {{a^2} \cdot {{\cos }^2}(\varphi ) + {b^2} \cdot {{\sin }^2}(\varphi )}[/math]
Но, по моему разумению, это какая-то форма эллиптического интеграла и явно он не берётся.
Мне так кажется.

Автор:  vvq [ 20 мар 2012, 22:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление площади части поверхности

Я там вроде якобиан забыл
ТО есть получается

[math]S=2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\sqrt {{a^2} \cdot {{\cos }^2}(\varphi ) + {b^2} \cdot {{\sin }^2}(\varphi )}}\frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}}dr[/math]

???

Автор:  Shaman [ 21 мар 2012, 07:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисление площади части поверхности

Точно так

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/