Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычисление площади части поверхности
СообщениеДобавлено: 20 мар 2012, 21:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2012, 15:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Просьба помочь!

Найти площадь поверзности шара [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math], вырезанной поверхностью [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math].

Собственно опять по формуле [math]\iint\limits_{(S)}=\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2}dx dy[/math]

[math]z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}[/math]
[math]\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math]
[math]\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math]
[math]\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2}+\frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\sqrt{\frac{a^2-x^2-y^2+x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}[/math]



Далее, вроде бы искомая площадь - это часть шара, отрезанного цилиндром. Сверху и снизу.
Нахожу верхнюю часть, домнажая на 2.

[math]S=2\int\limits_{0}^{a}dx\int\limits_{0}^{b}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dy=2a\int\limits_{0}^{a}\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2-x^2}}dx[/math]
Дальше ерунда((


Пробую через полярные координаты
[math]x=r\cos(\phi)[/math]
[math]y=r\sin(\phi)[/math]

[math]\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2\cos^2\phi-r^2\sin^2\phi}}=\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}[/math]
[math]S=2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{???}\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}dr[/math]

Как найти верхний предел тогда? Это по идее образующая эллиптического цилиндра[math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math]...
Но если переводить это в полярные коорд получается ерунда...
А если применять полярные коорд [math]x=ar\cos(\phi)[/math], то непонятно как от них перейти к основной формуле...?
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление площади части поверхности
СообщениеДобавлено: 20 мар 2012, 21:47 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В полярных координатах граница интегрирования по радиусу: [math]\sqrt {{a^2} \cdot {{\cos }^2}(\varphi ) + {b^2} \cdot {{\sin }^2}(\varphi )}[/math]
Но, по моему разумению, это какая-то форма эллиптического интеграла и явно он не берётся.
Мне так кажется.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление площади части поверхности
СообщениеДобавлено: 20 мар 2012, 22:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2012, 15:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я там вроде якобиан забыл
ТО есть получается

[math]S=2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\sqrt {{a^2} \cdot {{\cos }^2}(\varphi ) + {b^2} \cdot {{\sin }^2}(\varphi )}}\frac{ar}{\sqrt{a^2-r^2}}dr[/math]

???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычисление площади части поверхности
СообщениеДобавлено: 21 мар 2012, 07:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2011, 14:50
Сообщений: 1542
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
630 раз в 536 сообщениях
Очков репутации: 258

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точно так

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычисление площади поверхности тела вращения

в форуме Интегральное исчисление

Andrey82

8

388

10 сен 2020, 19:06

Расчет площади поверхности

в форуме Интегральное исчисление

gessaa

7

452

03 янв 2017, 19:06

Площадь части поверхности

в форуме Интегральное исчисление

Cheesecake

2

325

23 дек 2017, 21:23

Площадь части поверхности

в форуме Интегральное исчисление

Olenka_S

1

606

23 апр 2016, 19:22

Вычисление площади. Двойные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

lgavrilova

7

458

02 окт 2015, 00:03

Найти массу части поверхности

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

misslinetta1

1

188

06 июн 2023, 16:38

Найти площадь части поверхности

в форуме Интегральное исчисление

firuzinho

7

782

23 дек 2018, 13:14

Найти площадь части поверхности(а)

в форуме Интегральное исчисление

keton004

5

252

13 окт 2021, 22:21

Вычислить площадь части поверхности

в форуме Интегральное исчисление

patronikus

0

401

14 янв 2016, 18:42

Вычислить площадь части поверхности

в форуме Интегральное исчисление

sd2380

11

692

13 сен 2020, 21:04


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved