| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| помогите решить, что сможете http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15450 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | pral23 [ 18 мар 2012, 16:39 ] | ||
| Заголовок сообщения: | помогите решить, что сможете | ||
|
|||
| Автор: | arkadiikirsanov [ 18 мар 2012, 23:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: помогите решить, что сможете |
| Автор: | Alexdemath [ 19 мар 2012, 10:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: помогите решить, что сможете |
pral23, первый пример [math]\begin{aligned}\int\limits_1^8 &\,\frac{\sqrt[4]{1 + \sqrt[3]{x}}}{\sqrt[3]{x}}\,dx= \int\limits_1^8 \!\sqrt[4]{1+\sqrt[3]{x}}\,x^{1/3}x^{-2/3}\,dx= \left\{ \begin{gathered} \sqrt[4]{1+\sqrt[3]{x}}=t, \hfill\\ x^{1/3}=t^4-1,\hfill \\ x^{-2/3}\,dx=12t^3\,dt, \hfill \\ \end{gathered}\right\}= \int\limits_{\sqrt[4]{2}}^{\sqrt[4]{3}} t(t^4-1)12t^3\,dt=\\ &= 12\int\limits_{\sqrt[4]{2}}^{\sqrt[4]{3}}(t^8-t^4)\,dt= \left. {12\!\left(\frac{t^9}{9} - \frac{t^5}{5} \right)}\right|_{\sqrt[4]{2}}^{\sqrt[4]{3}}= \ldots= \frac{{24}}{5}\sqrt[4]{3}- \frac{8}{15}\sqrt[4]{2} \end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 19 мар 2012, 10:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: помогите решить, что сможете |
Цитата: Найти площадь, ограниченную кривыми: [math]y=\frac{x}{1+\sqrt{x}},~~y=0,~~x=1[/math]. Используйте стандартную формулу [math]\begin{aligned}S &= \int\limits_0^1 \frac{x}{1+\sqrt{x}}\,dx= \left\{ \begin{gathered} 1 + \sqrt x = t, \hfill \\ x = {(t - 1)^2}, \hfill \\ dx = 2(t - 1)\,dt \hfill \\ \end{gathered}\right\} = \int\limits_1^2 \frac{(t - 1)^2}{t}2(t - 1)\,dt= 2\int\limits_1^2 \frac{1}{t}(t^3- 3t^2+ 3t - 1)\,dt=\\ &= 2\int\limits_1^2 \!\left(t^2- 3t + 3 - \frac{1}{t} \right)\!dt= \left. {2\!\left(\frac{1}{3}t^3- \frac{3}{2}t^2+ 3t - \ln|t|\right)}\right|_1^2 = \ldots=\frac{5}{3}-2\ln 2\end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 19 мар 2012, 11:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: помогите решить, что сможете |
Цитата: Вычислить несобственный интеграл [math]\int\limits_{0}^{\infty}e^{-3x}\cos 2x\,dx[/math] Интегрируйте по частям два раза, тогда получите линейное уравнение относительно исходного неопределённого интеграла: [math]\begin{aligned}I &= \int e^{-3x}\cos2x\,dx= \int \cos 2x\,d\!\left(- \frac{e^{-3x}}{3}\right)= - \frac{{{e^{ - 3x}}}}{3}\cos 2x - \int {\left( { - \frac{e^{-3x}}{3}} \right)d(\cos 2x)} = \\ &= - \frac{{{e^{ - 3x}}}}{3}\cos 2x - \frac{2}{3}\int e^{-3x}\sin 2x\,dx= - \frac{e^{-3x}}{3}\cos 2x - \frac{2}{3}\int {\sin 2x\,d\!\left( { - \frac{{{e^{ - 3x}}}}{3}} \right)}=\\ &= - \frac{e^{-3x}}{3}\cos 2x - \frac{2}{3}\left( { - \frac{{{e^{ - 3x}}}}{3}\sin 2x - \int {\left( { - \frac{e^{-3x}}{3}} \right)\!d(\sin 2x)} } \right) = \\ &= - \frac{e^{-3x}}{3}\cos 2x + \frac{2}{9}{e^{ - 3x}}\sin 2x - \frac{4}{9}\int e^{-3x}\cos2x\,dx = - \frac{e^{-3x}}{3}\cos 2x + \frac{2}{9}{e^{ - 3x}}\sin 2x - \frac{4}{9}I \end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned} I + \frac{4}{9}I&= \frac{2}{9}{e^{ - 3x}}\sin 2x - \frac{e^{-3x}}{3}\cos 2x \\ \frac{13}{9}I&= \frac{e^{-3x}}{9}(2\sin 2x - 3\cos 2x)\\ I &= \frac{e^{-3x}}{13}(2\sin 2x - 3\cos 2x) \end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned}\int\limits_0^{\infty} &\,e^{ - 3x}\cos 2x\,dx = \lim_{b\to\infty} \int\limits_0^b {{e^{ - 3x}}\cos 2xdx} = \left. {\frac{1}{{13}}\lim_{b\to\infty}e^{-3x}(2\sin 2x - 3\cos 2x)} \right|_0^b=\\ &= \frac{1}{{13}}\lim_{b\to\infty}\Bigl[e^{ - 3b}(2\sin 2b - 3\cos 2b) - 1 \cdot (0 - 3)\Bigr] = \frac{1}{{13}}(0 + 3) = \frac{3}{{13}} \end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 19 мар 2012, 11:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: помогите решить, что сможете |
Цитата: Вычислить несобственный интеграл [math]\int\limits_0^1 \frac{x^5}{\sqrt{1- x^2}}\,dx[/math] Сделайте тригонометрическую подстановку [math]x=\sin{t}[/math] [math]\begin{aligned}\int\limits_0^1 \frac{x^5\,dx}{\sqrt{1-x^2}} &= \left\{ \begin{gathered} x = \sin t, \hfill \\ dx = \cos t\,dt \hfill \\ \end{gathered}\right\} = \lim_{\varepsilon\to0} \int\limits_0^{\pi /2-\varepsilon} \frac{\sin^5t}{\sqrt{1-\sin^2t}}\cos t\,dt= \int\limits_0^{\pi/2} \sin^5t\,dt=\\ &= \int\limits_0^{\pi/2} \sin t(1-\cos^2t)^2dt= - \int\limits_0^{\pi /2} (1 - 2\cos^2t + \cos^4t)\,d(\cos t)=\\ &= \left. { - \left( {\cos t - \frac{2}{3}{{\cos }^3}t + \frac{1}{5}{{\cos }^5}t} \right)} \right|_0^{\pi /2}= -\left[0 - \left(1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}\right)\right]= \frac{8}{15}\end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|