| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| несобственный интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15410 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | tressel [ 16 мар 2012, 19:16 ] |
| Заголовок сообщения: | несобственный интеграл |
интеграл от ((e^(1/x))/(x^x^2))dx в значениях от -1 до 0 |
|
| Автор: | tressel [ 16 мар 2012, 19:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
Ошиблась при запись, должно быть так: интеграл [math]\int\limits_{-1}^{0}\frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx[/math] |
|
| Автор: | arkadiikirsanov [ 16 мар 2012, 23:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
Это сходящийся несобственный интеграл. |
|
| Автор: | Alexdemath [ 17 мар 2012, 12:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
Занесите под знак дифференциала [math]\frac{1}{x^2}[/math] [math]\int\limits_{-1}^0 \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx= -\lim_{\varepsilon\to0}\int\limits_{-1}^{0-\varepsilon}e^{1/x}\,d\!\left(\frac{1}{x}\right)= \left.{-\lim_{\varepsilon\to0}e^{1/x}}\right|_{-1}^{0-\varepsilon}= -\lim_{\varepsilon\to0}\Bigl(e^{-1/\varepsilon}-e^{-1}\Bigr)= -(0-e^{-1})=e^{-1}[/math] |
|
| Автор: | tressel [ 17 мар 2012, 19:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
спасибо большое |
|
| Автор: | never-sleep [ 19 мар 2012, 01:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
Alexdemath писал(а): Занесите под знак дифференциала [math]\frac{1}{x^2}[/math] [math]\int\limits_{-1}^0 \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx= -\lim_{\varepsilon\to0}\int\limits_{-1}^{0-\varepsilon}e^{1/x}\,d\!\left(\frac{1}{x}\right)[/math] А разве такая запись верна? Я думал, что нужно писать в пределах интегрирования область изменения именно той величины, что стоит под дифференциалом. То есть, если [math]d\!\left(\frac{1}{x}\right)[/math], то [math]-1<\frac{1}{x}<\frac{1}{0-\varepsilon}[/math] [math]\int\limits_{-1}^0 \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx= -\lim_{\varepsilon\to0}\int\limits_{-1}^{\frac{1}{0-\varepsilon}}e^{1/x}\,d\!\left(\frac{1}{x}\right)[/math] А почему именно [math]0-\varepsilon[/math] , а не просто [math]\varepsilon[/math]или [math]0+\varepsilon[/math] ? Вроде как понятно, что только если мы будем искать предел слева, то сойдется. Но ведь, если будем считать предел справа, то разойдется. Почему все-таки сходится этот интегал? |
|
| Автор: | Shaman [ 19 мар 2012, 08:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
На (-1;0) он сходится, а на (0;1) расходится, ничего странного. Определение интеграла никак не связано со значениями функции вне пределов интегрирования, так что [math]0+ \epsilon[/math] здесь не при чём. |
|
| Автор: | never-sleep [ 20 мар 2012, 20:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
Спасибо, понял. А что про дифференциал все-таки? |
|
| Автор: | Ileech [ 20 мар 2012, 21:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
never-sleep, это если заменить на какую-нибудь другую переменную, тогда да. А так - у нас переменная остаётся всё тот же икс, поэтому пределы те же. |
|
| Автор: | Shaman [ 20 мар 2012, 21:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: несобственный интеграл |
Правильную запись вы видите выше в посте нашего администратора. Новые границы интегрирования подставляются в тот момент, когда (и если) производится замена переменной. В обоснование такой записи вводится интеграл Римана-Стилтьеса: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 1%81%D0%B0 |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|