Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15410
Страница 1 из 1

Автор:  tressel [ 16 мар 2012, 19:16 ]
Заголовок сообщения:  несобственный интеграл

интеграл от ((e^(1/x))/(x^x^2))dx в значениях от -1 до 0

Автор:  tressel [ 16 мар 2012, 19:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

Ошиблась при запись, должно быть так: интеграл

[math]\int\limits_{-1}^{0}\frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 16 мар 2012, 23:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

Это сходящийся несобственный интеграл.

Автор:  Alexdemath [ 17 мар 2012, 12:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

Занесите под знак дифференциала [math]\frac{1}{x^2}[/math]

[math]\int\limits_{-1}^0 \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx= -\lim_{\varepsilon\to0}\int\limits_{-1}^{0-\varepsilon}e^{1/x}\,d\!\left(\frac{1}{x}\right)= \left.{-\lim_{\varepsilon\to0}e^{1/x}}\right|_{-1}^{0-\varepsilon}= -\lim_{\varepsilon\to0}\Bigl(e^{-1/\varepsilon}-e^{-1}\Bigr)= -(0-e^{-1})=e^{-1}[/math]

Автор:  tressel [ 17 мар 2012, 19:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

спасибо большое

Автор:  never-sleep [ 19 мар 2012, 01:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

Alexdemath писал(а):
Занесите под знак дифференциала [math]\frac{1}{x^2}[/math]

[math]\int\limits_{-1}^0 \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx= -\lim_{\varepsilon\to0}\int\limits_{-1}^{0-\varepsilon}e^{1/x}\,d\!\left(\frac{1}{x}\right)[/math]


А разве такая запись верна? Я думал, что нужно писать в пределах интегрирования область изменения именно той величины, что стоит под дифференциалом.

То есть, если [math]d\!\left(\frac{1}{x}\right)[/math], то [math]-1<\frac{1}{x}<\frac{1}{0-\varepsilon}[/math]

[math]\int\limits_{-1}^0 \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx= -\lim_{\varepsilon\to0}\int\limits_{-1}^{\frac{1}{0-\varepsilon}}e^{1/x}\,d\!\left(\frac{1}{x}\right)[/math]

А почему именно [math]0-\varepsilon[/math] , а не просто [math]\varepsilon[/math]или [math]0+\varepsilon[/math] ?

Вроде как понятно, что только если мы будем искать предел слева, то сойдется. Но ведь, если будем считать предел справа, то разойдется. Почему все-таки сходится этот интегал?

Автор:  Shaman [ 19 мар 2012, 08:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

На (-1;0) он сходится, а на (0;1) расходится, ничего странного.
Определение интеграла никак не связано со значениями функции вне пределов интегрирования, так что [math]0+ \epsilon[/math] здесь не при чём.

Автор:  never-sleep [ 20 мар 2012, 20:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

Спасибо, понял. А что про дифференциал все-таки?

Автор:  Ileech [ 20 мар 2012, 21:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

never-sleep, это если заменить на какую-нибудь другую переменную, тогда да. А так - у нас переменная остаётся всё тот же икс, поэтому пределы те же.

Автор:  Shaman [ 20 мар 2012, 21:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: несобственный интеграл

Правильную запись вы видите выше в посте нашего администратора.
Новые границы интегрирования подставляются в тот момент, когда (и если) производится замена переменной.

В обоснование такой записи вводится интеграл Римана-Стилтьеса:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0% ... 1%81%D0%B0

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/