Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неопределённый интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15361
Страница 1 из 2

Автор:  ALEXIN [ 14 мар 2012, 19:18 ]
Заголовок сообщения:  Неопределённый интеграл

[math]int dx/(7*sinx-3*cosx)[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 14 мар 2012, 19:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Используйте замену на тангенс половинного угла.

Автор:  ALEXIN [ 14 мар 2012, 20:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Я всё это хорошо знаю.Мне нужен только правильный ответ.Решать буду самосто-
ятельно.В качестве аналога использую самую верхнюю задачу со стр.577 (В.Д.Чер-ненко,"Высшая математика в примерах и задачах",СПб,2003г.,Том 1).

Автор:  ALEXIN [ 14 мар 2012, 23:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Как Вы думаете? Смотрите ниже.Такой ответ не перепугает преподавателей??

Ответ:1/7*|ln7*tg(x/2)-3|-1/3*|ln3*tg(x/2)^2|+C

Автор:  ALEXIN [ 15 мар 2012, 07:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Прошу прощения за мою безалаберность! :oops:
Оказывается надо найти интеграл:[math]1/(7*sin(x)-3*cos(x))[/math]
Ещё новая сложность в том, что "Калькулятор Интегралов" выдаёт ошеломительный
ответ (смотрите ниже).Использовал-http://ru.numberempire.com/integralcalculator.php
Будьте любезны и укажите верный путь.

Вложения:
 Интегралов _ 1_(7_sin(x)-3_cos(x)).png
Интегралов _ 1_(7_sin(x)-3_cos(x)).png [ 79.08 Кб | Просмотров: 43 ]

Автор:  Yurik [ 15 мар 2012, 08:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

[math]\int_{}^{} {\frac{{dx}}{{7\sin x - 3\cos x}}} = \left| \begin{gathered} t = tg\frac{x}{2};\,\,\,dx = \frac{{2\,dt}}{{1 + {t^2}}}; \hfill \\ \cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}};\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right| = \int_{}^{} {\frac{2}{{1 + {t^2}}} \cdot \left( {\frac{{1 + {t^2}}}{{14t - 3 - 3{t^2}}}} \right)\,dt} = - 2\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{3{t^2} - 14t + 3}}} = ...[/math]

Автор:  ALEXIN [ 15 мар 2012, 09:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Именно до этого момента всё было благополучно.Дальше одолели сомнения.Я по-
мал, что продолжение (смотрите ниже) будет неверным:
[math]= -2ln(3t^2-14t+3) +C=-2ln(3*tg(x/2)^2-14*tg(x/2)+3)+C[/math]
Поэтому борясь с сомнениями написал ответ, способный перепугать преподавателей
(смотрите ранее).
Как же быть? Что делать?

Автор:  Yurik [ 15 мар 2012, 09:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Конечно, это неверно. Подынтегральную дробь нужно методом неопределённых коэффициентов разложить на сумму простейших дробей, получите сумму табличных интегралов.

Автор:  Yurik [ 15 мар 2012, 10:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

А можно так (если нигде не ошибся).

[math]\begin{gathered} \int_{}^{} {\frac{{dx}}{{7\sin x - 3\cos x}}} = ... = - 2\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{3{t^2} - 14t + 3}}} = - 2\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{{{\left( {\sqrt 3 t - \frac{{7\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - \frac{{49}}{3} + 3}}} = \hfill \\ = - 2\int_{}^{} {\frac{{dt}}{{{{\left( {\sqrt 3 t - \frac{{7\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - \frac{{40}}{3}}}} = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\int_{}^{} {\frac{{d\left( {\sqrt 3 t - \frac{{7\sqrt 3 }}{3}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 t - \frac{{7\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2} - \frac{{40}}{3}}}} = - \frac{1}{{2\sqrt {10} }}\ln \left| {\frac{{\sqrt 3 t - \frac{{7\sqrt 3 }}{3} - \frac{{2\sqrt {10} }}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt 3 t - \frac{{7\sqrt 3 }}{3} + \frac{{2\sqrt {10} }}{{\sqrt 3 }}}}} \right| + C = \hfill \\ = - \frac{1}{{2\sqrt {10} }}\ln \left| {\frac{{3\sqrt 3 t - 7\sqrt 3 - 2\sqrt {30} }}{{3\sqrt 3 t - 7\sqrt 3 + 2\sqrt {30} }}} \right| + C = - \frac{1}{{2\sqrt {10} }}\ln \left| {\frac{{3tg\frac{x}{2} - 7 - 2\sqrt {10} }}{{3tg\frac{x}{2} - 7 + 2\sqrt {10} }}} \right| + C \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Вот, одну ошибку нашёл, исправил.

Автор:  ALEXIN [ 15 мар 2012, 11:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неопределённый интеграл

Я тщательно проверю.Результат сразу сообщу.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/