Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Поверхностный интеграл 2го рода
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15260
Страница 1 из 1

Автор:  irinka [ 10 мар 2012, 20:48 ]
Заголовок сообщения:  Поверхностный интеграл 2го рода

Дана задача:
Вычислить поверх.интеграл. Сделать чертеж.
[math]\iint\limits_\sigma {(2z - x)dydx + (x + }2z)dxdz[/math],
где [math]\sigma[/math]-верхняя сторона части плоскости [math]x + y + z = 4[/math], ограниченной координатными плоскостями.

Я решаю так:
[math]I = {I_1} + {I_2}[/math]
[math]{I_1} = \iint\limits_\sigma {(2z - x)dydz = \iint\limits_\sigma {(2z - (4 - y - z))dydz = \iint\limits_\sigma {(3z - 4 + y)dydz = \int\limits_0^4 {dy\int\limits_0^4 {(3z - 4 + y)dz} } }}}[/math]
Я хоть в правильном направлении двигаюсь????

Автор:  arkadiikirsanov [ 11 мар 2012, 08:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

Повторный интеграл выписан неверно.

Автор:  irinka [ 11 мар 2012, 11:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

Это в задании ошибка, правильно так
[math]\iint\limits_\sigma {(2z - x)dydz + (x + 2z)dxdz}[/math]

Автор:  erjoma [ 11 мар 2012, 11:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

arkadiikirsanov,
говорил про ошибку в
irinka писал(а):
[math]\int\limits_0^4 {dy\int\limits_0^4 {(3z - 4 + y)dz} } }}}[/math]

При проектировании поверхности [math]\sigma[/math] на плоскость [math]yOz[/math], получается треугольник ограниченный осями [math]Oy[/math], [math]Oz[/math] и прямой [math]y+z=4[/math].
[math]{I_1} = \int\limits_0^4 {dy} \int\limits_0^{4 - y} {\left( {3z - 4 + y} \right)dz}[/math]

Автор:  irinka [ 11 мар 2012, 12:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

Но тогда получается, что и по оси y от 0 до 4-z???

Автор:  arkadiikirsanov [ 11 мар 2012, 12:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

Да.

Автор:  irinka [ 11 мар 2012, 16:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

Вот такое получается решение:
[math]{I_1} = \iint\limits_\sigma {(2z - x)dydz = \iint\limits_\sigma {(3z - 4 + y)dydz = \int\limits_0^4 {dy\int\limits_0^{4 - y} {(3z - 4 + y)dz = \int\limits_0^4 {(\frac{{3{z^2}}}{2} - 4z + yz)} } } }}|_0^{4 - y}dy = \int\limits_0^4 {(8 - 4y + \frac{1}{2}{y^2})dy = (8y - 2{y^2} + \frac{{{y^3}}}{6})|_0^4 = \frac{{32}}{3}}[/math]
[math]{I_2} = \iint\limits_\sigma {(x + 2z)dxdz = \int\limits_0^4 {dx} \int\limits_0^{4 - x} {(x + 2z)dz = \int\limits_0^4 {(xz + {z^2})|_0^{4 - x}dx} } = 4\int\limits_0^4 {(4 - x)dx} = 4(4x - \frac{{{x^2}}}{2})|_0^4 = 32}[/math]
[math]I = {I_1} + {I_2} = \frac{{32}}{3} + 32 = 42\frac{2}{3}[/math]
Проверьте пожалуйста))

Автор:  erjoma [ 11 мар 2012, 16:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

Все верно.
:good:

Автор:  irinka [ 11 мар 2012, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

Спасибо))))
Осталась последняя задача)))

Автор:  irinka [ 11 мар 2012, 21:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Поверхностный интеграл 2го рода

erjoma, может посмотрите viewtopic.php?f=35&t=15283

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/