Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Переход к цилиндрическим координатам
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15256
Страница 1 из 1

Автор:  irinka [ 10 мар 2012, 17:50 ]
Заголовок сообщения:  Переход к цилиндрическим координатам

Дан пример
Найти массу тела , заданного неравенствами и имеющего заданную плотность m. Сделать чертеж.
[math]{x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 25,x \geqslant 0,y \geqslant 0,z \geqslant 3,m = z.[/math]
При вычислении тройного интеграла перейти к цилиндрическим координатам.

При решении получается такое тело, снизу ограниченное частью окружности [math]{x^2} + {y^2} = 16(z = 3)[/math], и находящееся в положительных осях.
При переходе к цилиндрическим координатам получаем
[math]0 \leqslant \varphi \leqslant \frac{\pi }{2},0 \leqslant \rho \leqslant 4,{\rho ^2} \leqslant z \leqslant 5.[/math]
И получаем следующее
[math]\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi \int\limits_0^4 {d\rho \int\limits_{{\rho ^2}}^5 {z\rho dz = (200 - \frac{{1024}}{5}} } } )\frac{\pi }{2}[/math]
Разве масса может быть отрицательна???
Где ошибка????

Автор:  erjoma [ 10 мар 2012, 18:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Переход к цилиндрическим координатам

[math]3 \leqslant z \leqslant \sqrt {25 - {\rho ^2}}[/math]

Автор:  irinka [ 10 мар 2012, 18:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Переход к цилиндрическим координатам

Спасибо.
Значит так
[math]{z^2} = 25 - {x^2} - {y^2}[/math]
[math]z = \sqrt {25 - ({x^2} + {y^2})}[/math]

Автор:  erjoma [ 10 мар 2012, 18:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Переход к цилиндрическим координатам

[math]{x^2} + {y^2} + {z^2} \leqslant 25 \Leftrightarrow - \sqrt {25 - {x^2} - {y^2}} \leqslant z \leqslant \sqrt {25 - {x^2} - {y^2}}[/math]
Объединяя с ограничением [math]z\geqslant 3[/math], получим [math]3 \leqslant z \leqslant \sqrt {25 - {x^2} - {y^2}}[/math].
В цилиндрических координатах [math]3 \leqslant z \leqslant \sqrt {25 - {\rho ^2}}[/math]

Автор:  irinka [ 10 мар 2012, 18:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Переход к цилиндрическим координатам

Вроде все получилось))
Ответ:[math]16\pi[/math]

Автор:  erjoma [ 10 мар 2012, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Переход к цилиндрическим координатам

:good:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/