| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15197 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | soleil [ 07 мар 2012, 11:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела |
Пожалуйста, помогите!!! Очень нужна Ваша помощь Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу . z = 0 , z – y2 = 0 , x2 + y2 = 9 . |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 07 мар 2012, 12:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела |
[math]x^2+y^2=9[/math] - цилиндр, ось симметрии которого совпадает с осью [math]Oz[/math] [math]z=y^2[/math] - параболический цилиндр ![]() [math]|V|=\iiint_V1\;dxdydz[/math] [math]V=\{(x,y,z)|\; x\in[-3,3],\;y\in[-\sqrt{9-x^2}, \sqrt{9-x^2}],\;z\in[0,y^2]\}[/math] Данное тело симметрично относительно плоскостей [math]xOz[/math] и [math]yOz[/math], поэтому достаточно вычислить объем четверти [math]V'[/math] тела, лежащей в первом октанте. [math]V'=\{(x,y,z)|\; x\in[0,3],\;y\in[0, \sqrt{9-x^2}],\;z\in[0,y^2]\}[/math] [math]|V|=\iiint_V1\;dxdydz=4\iiint_{V'}1\;dxdydz=4\int_0^3\int_0^{\sqrt{9-x^2}}\int_0^{y^2}1dzdydx[/math] [math]=4\int_0^3\int_0^{\sqrt{9-x^2}}y^2dydx=.....[/math] Перейдем к полярным координатам: [math]x=r\cos\varphi, \quad y=r\sin\varphi, \quad dxdy=rdrd\varphi[/math] [math].....=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^3(r\sin\varphi)^2rdrd\varphi=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\varphi\cdot \int_0^3r^3dr=.....=\frac{81}{4}\pi[/math]
|
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|