Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15197
Страница 1 из 1

Автор:  soleil [ 07 мар 2012, 11:19 ]
Заголовок сообщения:  Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела

Пожалуйста, помогите!!! Очень нужна Ваша помощь :%)

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость хОу .

z = 0 , z – y2 = 0 , x2 + y2 = 9 .

Автор:  SzaryWilk [ 07 мар 2012, 12:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела

[math]x^2+y^2=9[/math] - цилиндр, ось симметрии которого совпадает с осью [math]Oz[/math]

[math]z=y^2[/math] - параболический цилиндр

Изображение





[math]|V|=\iiint_V1\;dxdydz[/math]


[math]V=\{(x,y,z)|\; x\in[-3,3],\;y\in[-\sqrt{9-x^2}, \sqrt{9-x^2}],\;z\in[0,y^2]\}[/math]

Данное тело симметрично относительно плоскостей [math]xOz[/math] и [math]yOz[/math], поэтому достаточно вычислить объем четверти [math]V'[/math] тела, лежащей в первом октанте.

[math]V'=\{(x,y,z)|\; x\in[0,3],\;y\in[0, \sqrt{9-x^2}],\;z\in[0,y^2]\}[/math]

[math]|V|=\iiint_V1\;dxdydz=4\iiint_{V'}1\;dxdydz=4\int_0^3\int_0^{\sqrt{9-x^2}}\int_0^{y^2}1dzdydx[/math]

[math]=4\int_0^3\int_0^{\sqrt{9-x^2}}y^2dydx=.....[/math]


Перейдем к полярным координатам:

[math]x=r\cos\varphi, \quad y=r\sin\varphi, \quad dxdy=rdrd\varphi[/math]

[math].....=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^3(r\sin\varphi)^2rdrd\varphi=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\varphi\cdot \int_0^3r^3dr=.....=\frac{81}{4}\pi[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/