Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

производная интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14997
Страница 1 из 3

Автор:  bella0816 [ 28 фев 2012, 17:09 ]
Заголовок сообщения:  производная интеграла

[math]\int_{}^{}%20{\frac{{dx}}{{4%20-%205\sin%20x}}}%20%20=%20\left|%20\begin{gathered}%20%20t%20=%20tg\frac{x}{2};\,\,\,dx%20=%20\frac{{2\,dt}}{{1%20+%20{t^2}}};%20\hfill%20\\%20%20\sin%20x%20=%20\frac{{2t}}{{1%20+%20{t^2}}};\,\,%20\hfill%20\\%20\end{gathered}%20%20\right|%20=%20\int_{}^{}%20{\frac{2}{{1%20+%20{t^2}}}%20\cdot%20\left(%20{\frac{{1%20+%20{t^2}}}{{4{t^2}%20+%204%20-%2010t}}}%20\right)\,dt}%20%20=%20...}}[/math]

[math]\begin{gathered}%20%20\frac{1}{{\left(%20{2t%20-%201}%20\right)\left(%20{t%20-%202}%20\right)}}%20=%20\frac{A}{{2t%20-%201}}%20+%20\frac{B}{{t%20-%202}}%20=%20%20\hfill%20\\%20%20\left|%20\begin{gathered}%20%20At%20-%202A%20+%202Bt%20-%20B%20=%201%20\hfill%20\\%20%20\left\{%20\begin{gathered}%20%20A%20+%202B%20=%200%20\hfill%20\\%20%20%20-%202A%20-%20B%20=%201%20\hfill%20\\%20\end{gathered}%20%20\right.\,\,\,%20=%20%20%3E%20\,\,\,\left\{%20\begin{gathered}%20%20A%20+%202B%20=%200%20\hfill%20\\%20%203B%20=%201%20\hfill%20\\%20\end{gathered}%20%20\right.\,\,\,%20=%20%20%3E%20\,\,\,\left\{%20\begin{gathered}%20%20A%20=%20%20-%202/3%20\hfill%20\\%20%20B%20=%201/3%20\hfill%20\\%20\end{gathered}%20%20\hfill%20\\%20\end{gathered}%20%20\hfill%20\\%20%20%20=%20\frac{1}{3}\left(%20{\frac{{%20-%202}}{{2t%20-%201}}%20+%20\frac{1}{{t%20-%202}}}%20\right)%20\hfill%20\\%20\end{gathered}}}[/math]

правильность вычисления проверить дифференцированием
у меня получается так
[math]\frac{1}{3} \times \left( {\frac{{ - 2}}{{2tg\left( {\frac{x}{2}} \right) - 1}} + \frac{1}{{tg\left( {\frac{x}{2}} \right) - 2}}} \right) = \frac{1}{3} \times \left( {\frac{{ - 2}}{{{{\left( {2tg\frac{x}{2} - 1} \right)}^2}}} \times \frac{2}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} + \frac{1}{{{{\left( {tg\frac{x}{2} - 2} \right)}^2}}} \times \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}} \right)\[/math]

что дальше можно сделать?раскрыть скобки?

Автор:  mad_math [ 28 фев 2012, 17:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

А проинтегрировать получившуюся сумму дробей вы, случайно, не забыли?

Автор:  bella0816 [ 28 фев 2012, 18:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

[math]\frac{1}{3} \times \int {\left( {\frac{1}{{t - 2}} - \frac{2}{{2t - 1}}} \right)} dt = \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{t - 2}}dt} - \frac{2}{3}\int {\frac{1}{{2t - 1}}} dt = \frac{1}{3} \times \left( {\ln \left| {t - 2} \right| - \ln \left| {2t - 1} \right|} \right) + c = \frac{1}{3}\left( {\ln \left| {tg\frac{x}{2} - 2} \right| - \ln \left| {2tg\frac{x}{2} - 1} \right|} \right)\[/math]

правильно???

Автор:  mad_math [ 28 фев 2012, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

bella0816
Вроде бы правильно. Дальше можно ещё преобразовать по свойствам логарифма и тригонометрическим тождествам.

Автор:  bella0816 [ 28 фев 2012, 18:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

[math]\frac{1}{3}\left( {\ln \left| {\frac{{tg\frac{x}{2} - 2}}{{2tg\frac{x}{2} - 1}}} \right|} \right)\[/math]

а какое тригонометрическое тождество можно применить? это tg x/2 = sin (x/2)/cos (x/2)

Автор:  mad_math [ 28 фев 2012, 18:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

Неплохо было бы свести к полному углу, используя то, что
[math]\operatorname{tg}\frac{x}{2}=\frac{\sin{x}}{1+\cos{x}}=\frac{1-\cos{x}}{\sin{x}}[/math]
Чтобы при проверке после дифференцирования получить исходную функцию.

Автор:  bella0816 [ 28 фев 2012, 18:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

[math]\frac{1}{3}\left( {\ln \left| {\frac{{\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} - 2}}{{2\left( {\frac{{\sin x}}{{1 + \cos x}}} \right) - 1}}} \right|} \right)\[/math]
так?

Автор:  Ileech [ 28 фев 2012, 18:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

Например так. А теперь приведите числитель и знаменатель к общему знаменателю, сократите 1+cosx...

Автор:  bella0816 [ 28 фев 2012, 18:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

[math]\frac{1}{3}\left( {\ln \left| {\frac{{\sin x - 2}}{{2\sin x - 1}}} \right|} \right)\[/math]

Автор:  Ileech [ 28 фев 2012, 18:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: производная интеграла

Ileech писал(а):
приведите числитель и знаменатель к общему знаменателю,

А Вы просто зачеркнули косинус и забыли, это же не могло нам просто сойти с рук, ведь так?:)

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/