Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

определенные интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14940
Страница 1 из 2

Автор:  elena8585 [ 27 фев 2012, 14:46 ]
Заголовок сообщения:  определенные интегралы

здравствуйте, помогите пожалуйста с интегралами

[math]\begin{gathered}\int\limits_1^3 {\frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}} dx \hfill \\\int\limits_{25}^{196} {\frac{{dx}}{{x - 4\sqrt x }}} \hfill \\\int\limits_{27}^{125} {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}} \hfill \\ \end{gathered} \[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 27 фев 2012, 17:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

Во всех примерах заменяйте корень новой буквой.

Автор:  elena8585 [ 28 фев 2012, 09:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

[math]\int\limits_1^3 {\frac{{\sqrt x }}{{x + 1}}} dx = 2\int\limits_1^3 {\frac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}} dt = 2\int\limits_1^3 {\left( {1 - \frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)} dt = 2\int\limits_1^3 {1dt - 2\int\limits_1^3 {\left( {\frac{1}{{{t^2} + 1}}} \right)} } dt = 2t - 2{\tan ^{ - 1}}\left( t \right) + c = 2\sqrt x - 2{\tan ^{ - 1}}\left( {\sqrt x } \right) +c \[/math]

[math]\begin{gathered} t = \sqrt x \hfill \\dx = 2tdt \hfill \\ \end{gathered} \[/math]

правильно???
а последние 2 что-то не получаются, помогите пожалуйста

Автор:  Yurik [ 28 фев 2012, 10:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

В первом при замене переменной, меняются и пределы интегрирования, а Вы этого не сделали.

[math]\begin{gathered} \int\limits_{25}^{196} {\frac{{dx}}{{x - 4\sqrt x }}} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt x \,\, = > \,\,x = {t^2} \hfill \\ dx = 2tdt \hfill \\ t\left( {25} \right) = 5;\,\,t\left( {196} \right) = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right| = 2\int\limits_5^{14} {\frac{{tdt}}{{{t^2} - 4t}}} = ... \hfill \\ \int\limits_{27}^{125} {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt[3]{x}\,\, = > \,\,x = {t^3} \hfill \\ dx = 3{t^2}dt \hfill \\ t\left( {27} \right) = 3;\,\,t\left( {125} \right) = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right| = 3\int\limits_3^5 {\frac{{{t^2}dt}}{{t - 2}}} = ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  elena8585 [ 28 фев 2012, 10:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

спасибо, а в первом тогда будут пределы 1 и ......а какой из 3 будет?

Автор:  Yurik [ 28 фев 2012, 10:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

Вы же сделали замену [math]t=\sqrt{x} => t(3)=\sqrt{3}[/math]

Автор:  elena8585 [ 28 фев 2012, 12:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

проверьте пожалуйста правильно?

[math]\begin{gathered} \int\limits_{25}^{196} {\frac{{dx}}{{x - 4\sqrt x }}} = 2\int\limits_5^{14} {\frac{{tdt}}{{{t^2} - 4}}} = 2\int\limits_5^{14} {\left( {\frac{{}}{{}}} \right.\left( {\frac{{2t - 4}}{{2({t^2} - 4t)}}} \right)} + \frac{2}{{{t^2} - 4}}\left. {\frac{{}}{{}}} \right)dt = \hfill \\ = 4\int\limits_5^{14} {\frac{{dt}}{{{t^2} - 4t}}} + \int\limits_5^{14} {\frac{{2t - 4}}{{{t^2} - 4t}}} dt = 4\int\limits_5^{14} {\frac{{dt}}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2} - 4}}} + \int\limits_5^{14} {\frac{{2t - 4}}{{t\left( {t - 4} \right)}}} dt = \hfill \\= \ln \left| {{t^2} - 4t} \right| + 2arctg\left( {1 - \frac{{t - 2}}{2}} \right) + c = \ln \left| {x - 4\sqrt x } \right| + 2arctg\left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{2}} \right) + c \hfill \\ \end{gathered} \[/math]

[math]\begin{gathered} \int\limits_{27}^{125} {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}} = 3\int\limits_3^5 {\frac{{{t^2}dt}}{{t - 2}}} = 3\int\limits_3^5 {\left( {t + \frac{4}{{t - 2}} + 2} \right)} dt = = 3\int\limits_3^5 {2dt} + 3\int\limits_3^5 t dt + 12\int\limits_3^5 {\frac{1}{{t - 2}}} = 6{t^2} + \frac{{3{t^2}}}{2} + 12\ln \left| {t - 2} \right| + c = \hfill \\ \hfill \\ = 6\sqrt[3]{x} + \frac{{3 \times {x^{\frac{2}{3}}}}}{2} + 12\ln \left| {\sqrt[3]{x} - 2} \right| + c = \frac{3}{2}\left( {{x^{\frac{2}{3}}} + 4\sqrt[3]{x} + 8\ln \left| {\sqrt[3]{x} - 2} \right|} \right) + c \hfill \\ \end{gathered} \[/math]

Автор:  arkadiikirsanov [ 28 фев 2012, 12:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

Вот с арктангенсом вы явно погорячились....

Автор:  elena8585 [ 28 фев 2012, 12:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

а что с арктангенсом?

Автор:  Yurik [ 28 фев 2012, 12:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: определенные интегралы

Неправильно. Сразу ошибка.

[math]\int\limits_{25}^{196} {\frac{{dx}}{{x - 4\sqrt x }}} = \left| \begin{gathered} t = \sqrt x {\kern 1pt} {\kern 1pt} = > {\kern 1pt} {\kern 1pt} x = {t^2} \hfill \\ dx = 2tdt \hfill \\ t\left( {25} \right) = 5;{\kern 1pt} {\kern 1pt} t\left( {196} \right) = 14 \hfill \\ \end{gathered} \right| = 2\int\limits_5^{14} {\frac{{tdt}}{{{t^2} - 4t}}} = 2\int\limits_5^{14} {\frac{{dt}}{{t - 4}}} = ...[/math]

PS. И потом, я нигде не вижу ответа, интеграл же определённый, в ответе должно быть число.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/