Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Правильный ли ответ
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14739
Страница 1 из 1

Автор:  Elenka [ 18 фев 2012, 18:11 ]
Заголовок сообщения:  Правильный ли ответ

Доброго вечера! Подскажите, пожалуйста, верно ли моё решение интеграла под номером 2? Вроде он простой, но почему-то на "Вольфраме" в части ответа показывается -arctg(3/(x^2-9)^1/2), а у меня наоборот получилось...
Изображение

Автор:  Andy [ 19 фев 2012, 12:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильный ли ответ

Elenka
[math]I=\int{\frac{dx}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}}=\int{\frac{xdx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-9}}}=\Bigg(x^{2}-9=t^{2},~2xdx=2tdt,~xdx=tdt\Bigg)=[/math]
[math]=\int{\frac{tdt}{t(t^{2}+9)^{2}}}=\int{\frac{dt}{(t^{2}+9)^{2}}}=\frac{1}{9}\int{\frac{t^{2}+9-t^{2}}{(t^{2}+9)^{2}}dt}=\frac{1}{9}\Bigg(\int{\frac{dt}{t^{2}+9}}-\int{\frac{t^{2}dt}{(t^{2}+9)^{2}}}\Bigg);[/math]
[math]\int{\frac{t^{2}dt}{(t^{2}+9)^{2}}}=\Bigg(u=t,~dv=\frac{tdt}{(t^{2}+9)^{2}},~du=dt,~v=\frac{1}{2}\int{(t^{2}+9)^{-2}d(t^{2}+9)}}=-\frac{1}{2(t^{2}+9)}\Bigg)=[/math]
[math]=-\frac{t}{2(t^{2}+9)}+\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t^{2}+9}};[/math]
[math]I=\frac{1}{9}\Bigg(\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t^{2}+9}}+\frac{t}{2(t^{2}+9)}\Bigg)=\frac{t}{18(t^{2}+9)}+\frac{1}{54}arctg{\frac{t}{3}}+C=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{18x^2}+\frac{1}{54}arctg{\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}}+C.[/math]

Как видите, у меня получился тот же результат. Поэтому проверьте, пожалуйста, ответ "Вольфрама". Не исключено, что там второе слагаемое должно быть [math]\frac{1}{54}{arcctg}\frac{3}{\sqrt{x^{2}-9}}.[/math] Арккотангенс, а не арктангенс! Ведь при u > 0 arctg u = arcctg (1/u).

Автор:  pewpimkin [ 19 фев 2012, 12:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильный ли ответ

Перед арктангенсом знак минус потерян.Я решал тригонометрической заменой.Ответ тот же, только перед арктангенсом знак минус

Автор:  pewpimkin [ 19 фев 2012, 13:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильный ли ответ

Изображение

Автор:  Andy [ 19 фев 2012, 14:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильный ли ответ

Elenka
Проверил свои выкладки при интегрировании и ошибки не нашёл. В моём предыдущем сообщении допущена, однако, грубая ошибка - неверно указано соотношение между обратными тригонометрическими функциями. Поэтому прошу считать недействительной ту часть сообщения, которая начинается со слов "Поэтому проверьте...". Извините, пожалуйста.

А вот у pewpimkin'а, по-видимому, получился тот ответ, что и у "Вольфрама". Так что, посмотрите.

Автор:  Elenka [ 25 фев 2012, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Правильный ли ответ

Andy,pewpimkin,
большущее вам спасибо за помощь!!!
О, оказывается, можно было решить и другим способом..И вправду по вольфраме получается. Как же так тригонометрическая замена вылетела у меня из головы!оО
pewpimkin, нееет, там минус не потерян. Правильно всё, просто здесь вид ответа, видимо, зависит от способа решения. Ну и у Andy также получилось.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/