| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Правильный ли ответ http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14739 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Andy [ 19 фев 2012, 12:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Правильный ли ответ |
Elenka [math]I=\int{\frac{dx}{x^{3}\sqrt{x^{2}-9}}}=\int{\frac{xdx}{x^{4}\sqrt{x^{2}-9}}}=\Bigg(x^{2}-9=t^{2},~2xdx=2tdt,~xdx=tdt\Bigg)=[/math] [math]=\int{\frac{tdt}{t(t^{2}+9)^{2}}}=\int{\frac{dt}{(t^{2}+9)^{2}}}=\frac{1}{9}\int{\frac{t^{2}+9-t^{2}}{(t^{2}+9)^{2}}dt}=\frac{1}{9}\Bigg(\int{\frac{dt}{t^{2}+9}}-\int{\frac{t^{2}dt}{(t^{2}+9)^{2}}}\Bigg);[/math] [math]\int{\frac{t^{2}dt}{(t^{2}+9)^{2}}}=\Bigg(u=t,~dv=\frac{tdt}{(t^{2}+9)^{2}},~du=dt,~v=\frac{1}{2}\int{(t^{2}+9)^{-2}d(t^{2}+9)}}=-\frac{1}{2(t^{2}+9)}\Bigg)=[/math] [math]=-\frac{t}{2(t^{2}+9)}+\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t^{2}+9}};[/math] [math]I=\frac{1}{9}\Bigg(\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t^{2}+9}}+\frac{t}{2(t^{2}+9)}\Bigg)=\frac{t}{18(t^{2}+9)}+\frac{1}{54}arctg{\frac{t}{3}}+C=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{18x^2}+\frac{1}{54}arctg{\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}}+C.[/math] Как видите, у меня получился тот же результат. Поэтому проверьте, пожалуйста, ответ "Вольфрама". Не исключено, что там второе слагаемое должно быть [math]\frac{1}{54}{arcctg}\frac{3}{\sqrt{x^{2}-9}}.[/math] Арккотангенс, а не арктангенс! Ведь при u > 0 arctg u = arcctg (1/u). |
|
| Автор: | pewpimkin [ 19 фев 2012, 12:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Правильный ли ответ |
Перед арктангенсом знак минус потерян.Я решал тригонометрической заменой.Ответ тот же, только перед арктангенсом знак минус |
|
| Автор: | pewpimkin [ 19 фев 2012, 13:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Правильный ли ответ |
|
|
| Автор: | Andy [ 19 фев 2012, 14:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Правильный ли ответ |
Elenka Проверил свои выкладки при интегрировании и ошибки не нашёл. В моём предыдущем сообщении допущена, однако, грубая ошибка - неверно указано соотношение между обратными тригонометрическими функциями. Поэтому прошу считать недействительной ту часть сообщения, которая начинается со слов "Поэтому проверьте...". Извините, пожалуйста. А вот у pewpimkin'а, по-видимому, получился тот ответ, что и у "Вольфрама". Так что, посмотрите. |
|
| Автор: | Elenka [ 25 фев 2012, 16:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Правильный ли ответ |
Andy,pewpimkin, большущее вам спасибо за помощь!!! О, оказывается, можно было решить и другим способом..И вправду по вольфраме получается. Как же так тригонометрическая замена вылетела у меня из головы!оО pewpimkin, нееет, там минус не потерян. Правильно всё, просто здесь вид ответа, видимо, зависит от способа решения. Ну и у Andy также получилось. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|