Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

интеграл по полусфере
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14634
Страница 1 из 1

Автор:  sebay [ 13 фев 2012, 06:08 ]
Заголовок сообщения:  интеграл по полусфере

[math]\[\iint\limits_S x^2dxdz+y^2dzdx+z^2dxdy \][/math], где [math]S[/math]-внешняя сторона полусферы [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math]

[math]\[\iint\limits_S (x^2\cos\alpha+y^2\cos\betta+z^2\cos\gamma)dS \][/math]
[math]dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\frac{a}{z}dxdy[/math]
[math]\cos\alpha=\frac{-x}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math]
[math]\cos\betta=\frac{-y}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math]
[math]\cos\gamma=\frac{-1}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math]
в итоге [math]\[\iint\limits_D (x^2z_x+y^2z_y+z^2(-1))dxdy \]=-\[\iint\limits_D (\frac{x^3+y^3}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}+a^2-x^2-y^2) dxdx \][/math]
где [math]D={x^2+y^2<=a^2}[/math]
Правильно или я ошибся где-то?

Автор:  dr Watson [ 14 фев 2012, 15:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл по полусфере

Надо добавить - верхняя полусфера. Внешняя нормаль посчитана неверно - перпендикулярен к поверхности F=0 градиент функции F, его надо только отнормировать. В данном случае результат совсем очевиден, так как поверхность сфера, то перпендикуляр к сфере в данной точке это радиус-вектор этой точки. Делим его на радиус и получаем внешнюю нормаль [math]\vec{n}=\frac1a(x,y,z)[/math]. Ну а направляющие косинусы - это просто координаты этой нормали.
Для вычисления этого интеграла лучше его свести к тройному по формуле Остроградского. Там практически устно получается [math]\frac{\pi a^4}{2}[/math].

Автор:  patr [ 14 фев 2012, 17:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл по полусфере

dr Watson
данный пример идет в учебнике до формулы Г-О.

Автор:  dr Watson [ 14 фев 2012, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл по полусфере

А откуда Вы знаете? Можно и прямо - не сильно длинее. Вовремя только сообразить отбросить слагаемые, интеграл от которых нуль из-за нечетности.

Автор:  sebay [ 15 фев 2012, 04:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл по полусфере

dr Watson писал(а):
А откуда Вы знаете?

На паре такой пример решали...

Автор:  dr Watson [ 15 фев 2012, 16:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл по полусфере

Я спрашивал у patr, а отвечает sebay. Я в растерянности - вас один или двое?

Автор:  patr [ 15 фев 2012, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: интеграл по полусфере

dr Watson
нас двое, просто учимся в разных группах на одном курсе. Sebay спрашивал у меня, но я не смог толком ответить...

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/