| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| интеграл по полусфере http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14634 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | sebay [ 13 фев 2012, 06:08 ] |
| Заголовок сообщения: | интеграл по полусфере |
[math]\[\iint\limits_S x^2dxdz+y^2dzdx+z^2dxdy \][/math], где [math]S[/math]-внешняя сторона полусферы [math]x^2+y^2+z^2=a^2[/math] [math]\[\iint\limits_S (x^2\cos\alpha+y^2\cos\betta+z^2\cos\gamma)dS \][/math] [math]dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy=\frac{a}{z}dxdy[/math] [math]\cos\alpha=\frac{-x}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math] [math]\cos\betta=\frac{-y}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math] [math]\cos\gamma=\frac{-1}{z\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}}[/math] в итоге [math]\[\iint\limits_D (x^2z_x+y^2z_y+z^2(-1))dxdy \]=-\[\iint\limits_D (\frac{x^3+y^3}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}+a^2-x^2-y^2) dxdx \][/math] где [math]D={x^2+y^2<=a^2}[/math] Правильно или я ошибся где-то? |
|
| Автор: | dr Watson [ 14 фев 2012, 15:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: интеграл по полусфере |
Надо добавить - верхняя полусфера. Внешняя нормаль посчитана неверно - перпендикулярен к поверхности F=0 градиент функции F, его надо только отнормировать. В данном случае результат совсем очевиден, так как поверхность сфера, то перпендикуляр к сфере в данной точке это радиус-вектор этой точки. Делим его на радиус и получаем внешнюю нормаль [math]\vec{n}=\frac1a(x,y,z)[/math]. Ну а направляющие косинусы - это просто координаты этой нормали. Для вычисления этого интеграла лучше его свести к тройному по формуле Остроградского. Там практически устно получается [math]\frac{\pi a^4}{2}[/math]. |
|
| Автор: | patr [ 14 фев 2012, 17:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: интеграл по полусфере |
dr Watson данный пример идет в учебнике до формулы Г-О. |
|
| Автор: | dr Watson [ 14 фев 2012, 20:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: интеграл по полусфере |
А откуда Вы знаете? Можно и прямо - не сильно длинее. Вовремя только сообразить отбросить слагаемые, интеграл от которых нуль из-за нечетности. |
|
| Автор: | sebay [ 15 фев 2012, 04:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: интеграл по полусфере |
dr Watson писал(а): А откуда Вы знаете? На паре такой пример решали... |
|
| Автор: | dr Watson [ 15 фев 2012, 16:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: интеграл по полусфере |
Я спрашивал у patr, а отвечает sebay. Я в растерянности - вас один или двое? |
|
| Автор: | patr [ 15 фев 2012, 18:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: интеграл по полусфере |
dr Watson нас двое, просто учимся в разных группах на одном курсе. Sebay спрашивал у меня, но я не смог толком ответить... |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|