Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Двойные и тройные интегралы
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14518
Страница 1 из 2

Автор:  Sashka94 [ 09 фев 2012, 00:37 ]
Заголовок сообщения:  Двойные и тройные интегралы

Добрый день!

перечитал весь интернет, никак до меня не доходит как вычисляется двойной интеграл, а уж тройной и подавно. я понимаю, например, повторное интегрирование, но только саму суть. а вот на практике:откуда брать пределы интегрирования?

если кто нибудь сможет объяснить нормально,спасибо большое:)

Автор:  vvvv [ 09 фев 2012, 00:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

Sashka94 писал(а):
Добрый день!

перечитал весь интернет, никак до меня не доходит как вычисляется двойной интеграл, а уж тройной и подавно. я понимаю, например, повторное интегрирование, но только саму суть. а вот на практике:откуда брать пределы интегрирования?

если кто нибудь сможет объяснить нормально,спасибо большое:)

Покажите пример, который вы не понимаете.

Автор:  Sashka94 [ 09 фев 2012, 00:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

ну например:

нужно вычислить поток вект.поля aв сторону внешней нормали через поверхность [math]\[\sigma \][/math] тела,
лежащего в первом октанте и ограниченного заданной поверхностью S и координатными плоскостями.

высчитал дивергенцию: 6x.
Дальше не знаю(
[math]\[\begin{gathered} \vec a = 3x{y^2}{z^2}\vec i + 6xy\vec j - {y^2}{z^3}\vec k \hfill \\ s\colon\, 2x + y + 4z = 4 \hfill \\ \prod = \iiint\limits_V {6xdxdydz} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Автор:  Alexdemath [ 09 фев 2012, 01:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

Sashka94, поверхность s и координатные плоскости [math]x=0,~y=0,~z=0[/math] образуют в первом квадранте прямоугольную пирамиду. Внутренность пирамиды - область интегрирования (V) - можно записать в виде неравенств:

[math]V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant x \leqslant 2,~0 \leqslant y \leqslant 4 - 2x,~0 \leqslant z \leqslant \frac{4 - y - 2x}{4}\right\}[/math]

Тогда согласно теореме Гаусса-Остроградского искомый поток будет

[math]\Pi= \iiint\limits_V \operatorname{div}\vec{a}\,dxdydz= 6\int\limits_0^2 x\,dx \int\limits_0^{4 - 2x}dy \int\limits_0^{\tfrac{4 - y - 2x}{4}}dz= \frac{3}{2}\int\limits_0^2 x\,dx \int\limits_0^{4-2x}(4-y-2x)\,dy=\ldots=4[/math]

Автор:  vvvv [ 09 фев 2012, 01:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

Вот картинка и интеграл
Изображение

Автор:  Sashka94 [ 09 фев 2012, 08:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

Alexdemath писал(а):
Sashka94, поверхность s и координатные плоскости [math]x=0,~y=0,~z=0[/math] образуют в первом квадранте прямоугольную пирамиду. Внутренность пирамиды - область интегрирования (V) - можно записать в виде неравенств:

[math]V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0 \leqslant x \leqslant 2,~0 \leqslant y \leqslant 4 - 2x,~0 \leqslant z \leqslant \frac{4 - y - 2x}{4}\right\}[/math]

Тогда согласно теореме Гаусса-Остроградского искомый поток будет

[math]\Pi= \iiint\limits_V \operatorname{div}\vec{a}\,dxdydz= 6\int\limits_0^2 x\,dx \int\limits_0^{4 - 2x}dy \int\limits_0^{\tfrac{4 - y - 2x}{4}}dz= \frac{3}{2}\int\limits_0^2 x\,dx \int\limits_0^{4-2x}(4-y-2x)\,dy=\ldots=4[/math]




не получается у меня 4, хоть тресни:(
получается 7(

Автор:  Shaman [ 09 фев 2012, 08:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

Sashka94
Покажите, как получается 7

Автор:  Sashka94 [ 09 фев 2012, 13:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

я пересчитал, получилось -20..

[math]\begin{gathered}\Pi { = 6\iiint\limits_v {xdxdydz = 6\int\limits_0^2 {xdx\int\limits_0^{4 - 2x} {dy\int\limits_0^{\frac{{4 - 2x - y}}{4}} {dz = 6} } } }} \int\limits_0^2 {xdx\int\limits_0^{4 - 2x} {\frac{1}{4}(4 - 2x - y)dy} } = \hfill \\= \frac{3}{2}\int\limits_0^2 {xdx\int\limits_0^{4 - 2x} {(4 - 2x - y)dy = \frac{3}{2}\int\limits_0^2 {x\left. {(4y - 2xy - \frac{{{y^2}}}{2})} \right|_0^{4 - 2x}dx = } } } \frac{3}{2}\int\limits_0^2 {x(4(4 - 2x) - 2x(4 - 2x) - \frac{{{{(4 - 2x)}^2}}}{2}} dx = \hfill \\ = \frac{3}{2}\int\limits_0^2 {x(8 - 8x - 8 + 8x - 2{x^2} - 8x + 4{x^2})dx = } \frac{3}{2}\int\limits_0^2 x(2{x^2} - 8x)dx = \hfill \\ = 3\int\limits_0^2 {({x^3} - 4{x^2})dx = 3\left. {(\frac{{{x^4}}}{4} - 4\frac{{{x^3}}}{3})} \right|} _0^2 = 3(4 - \frac{{32}}{3}) = 12 - 32 = - 20. \hfill \end{gathered}[/math]

Автор:  Shaman [ 09 фев 2012, 13:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

Неудачно вы раскрыли скобки при переходе к последней строке. Должно получиться:
[math]{\frac{3}{2}\int\limits_0^2 {(8x - 8{x^2} + 2{x^3})dx } }[/math]

Автор:  Sashka94 [ 09 фев 2012, 15:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойные и тройные интегралы

а, ясно теперь! спасибо большое) запутался немного)
а двойные интегралы считаются по тому же принципу, ведь так?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/