| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=14514 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Sergeevna_89 [ 08 фев 2012, 21:04 ] | ||
| Заголовок сообщения: | Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела | ||
Вычислитьобъем с помощью двойного интеграла объем тела, ограниченного данными поверхностями. Сделать чертеж даного тела и его проекции на плоскость хоу. Помогите пожалуйста!!!!
|
|||
| Автор: | Alexdemath [ 09 фев 2012, 01:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела |
Sergeevna_89 Пример а) Проекция тела на плоскость [math]Oxy[/math] есть [math]D_{xy}= \Bigr\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\, 0 \leqslant x \leqslant 1,~0 \leqslant y \leqslant 1-x\Bigl\}[/math]. То есть прямоугольный треугольник с прямым углом в начале координат (0;0) и единичными катетами. [math]z_1=x^2+ 3y^2,\quad z_2=0;\quad z_1\geqslant z_2[/math] [math]\begin{aligned}V &= \iint\limits_{D_{xy}}(z_1-z_2)\,dxdy= \int\limits_0^1 dx \int\limits_0^{1-x}(x^2+3y^2)\,dy= \int\limits_0^1 dx \left. {\Bigl(x^2y+y^3\Bigr)}\right|_0^{1-x}=\\[2pt] &=\int\limits_0^1 \Bigl[x^2(1-x)+(1-x)^3\Bigr]dx= \int\limits_0^1 (1-3x+4x^2-2x^3)=\ldots = \frac{1}{3}\end{aligned}[/math] |
|
| Автор: | Alexdemath [ 09 фев 2012, 02:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Вычислить с помощью двойного интеграла объем тела |
В пример б) при вычислении интеграла перейдите в полярные координаты [math]\begin{aligned}D_{xy}&= \left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\colon\, x^2+y^2\leqslant 2^2\right\}\\[5pt] z_1&= 0,\quad z_2=4-x-y\\[5pt] V&= \iint\limits_{D_{xy}}(z_2-z_1)\,dxdy= \iint\limits_{x^2+y^2\leqslant 2^2}(4-x-y)\,dxdy= \left\{\begin{gathered}x = r\cos \varphi, \hfill\\y=r\sin \varphi\hfill \end{gathered}\right\}=\\[2pt] &=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 (4-r\cos\varphi- r\sin \varphi)\,r\,dr= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi\!\left.{\left(2r^2- (\cos\varphi+\sin\varphi )\frac{r^3}{3}\right)}\!\right|_0^2 =\\[2pt] &=\int\limits_0^{2\pi}\! \left(8-(\cos\varphi+\sin\varphi)\frac{8}{3}\right)\!d\varphi= \frac{8}{3}\int\limits_0^{2\pi}(3-\cos\varphi-\sin\varphi)\,d\varphi=\\[2pt] &=\left.{\frac{8}{3}(3\varphi- \sin\varphi+ \cos \varphi )}\!\right|_0^{2\pi} = \frac{8}{3}\Bigl[6\pi-0+1-(0-0+1)\Bigr] = 16\pi \end{aligned}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|